【１】A29. へのコメント
◆Q29. くろきさんは数学が専門なのにややこしい数学の話をまったくせずに、この議論に参加しています。それは意識してのものですか。もしも少し難しいことを述べても構わないと言われたら、どのようなことを説明したいですか？
◇A29. はい、意識して難しい数学の話をしないように注意しています。
そもそもこの議論の本質は難しい数学の話とは無関係です。
少し難しいことを述べても構わないなら、以下のようなことを説明したかったです。
(1) おはじきから連続量まで
まず、おはじきを長方形型に並べて掛け算を理解すれば掛け算の可換性(交換法則)は明らかになります。なぜならば長方形型に並べたおはじきの個数はどの方向から見ても同じであることは明らかだからです。たとえば
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のおはじきの個数は3×4＝4×3です。これは易しい話。
このような理解の仕方は、おはじきを正方形型のタイルに置き換えれば容易に小数もしくは分数の掛け算に一般化されます。 たとえば
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のように正方形型のタイルが並んでいるとしましょう。
このとき正方形型のタイルの一辺の長さが 1 であるならば、上のように並べたタイルの面積の総和はおはじきの場合と同様に
3×4 = 4×3 になります。これも易しい話。
タイルの一辺の長さを1ではなく、1/nとみなせば面積は分数の掛け算になります。上の図では (3/n)×(4/n) = (4/n)×(3/n) が面積になる。この掛け算は分母が同じ分数どうしの掛け算になっていますが、約分を利用すれば違う分母を持つ分数の掛け算も考えることができます。
たとえば上の図で n=6 とすれば 3/6=1/2 と 4/6=2/3 の掛け算(1/2)×(2/3)=(2/3)×(1/2) が出て来ます。
小数を扱いたければタイルの一辺の長さを 0.1 や 0.01 などにします。たとえば正方形型タイルを243×167に並べて、タイルの一辺の長さを0.01とみなせば 2.43×1.67 について考えていることになります。
このようなアイデアに基づけば、おはじきを長方形型に並べた場合と同じ考え方で分数や小数の掛け算およびその可換性も理解することができます。
それでは実数(連続量)の掛け算およびのその可換性はどのように理解できるのか？(ここからが本当に難しい話になります。)
実数は分数(有理数)もしくは有限小数でいくらでも近似できる数のことです。たとえば円周率にいくらでも近い小数を 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... と作ることができます。 (円周率の分数による近似には連分数を使うと良い。面白い話なので興味のある人は Google などで検索してみて下さい。)
実数の掛け算は次のように定義されます。
まず、二つの実数 a と b のそれぞれに対して、
それらを幾らでも近似する分数もしくは有限小数の列a_1, a_2, ... と b_1, b_2, ... を取ります。
(ここで a_1 は a の右下に小さく 1 という添え字を書くことを意味しています。)
そして分数もしくは有限小数の掛け算によって得られる
a_1×b_1, a_2×b_2, ...
という数列で幾らでも近似される数(実数になる)を a×b と定義します。
分数と有限小数の掛け算の可換性は上のタイルによる説明(もしくはおはじきによる説明！)によって明らかでしょう。
よって分数もしくは有限小数の掛け算について a_n×b_n = b_n×a_n が成立しています。
このことから実数の掛け算の可換性 a×b = b×a が導かれます。
直観的には
「分数の分母をどんどん大きくして行けば実数が得られる」
「有限小数の小数点以下の部分の長さをどんどん長くして行けば実数が得られる」
と考えて、その考え方で実数の掛け算も導入されると考えて構いません。
そして、分数の分母をどんなに大きくしても分数どうしの掛け算は可換であり、有限小数の小数点以下の長さをどんなに長くしても有限小数どうしの掛け算は可換であることから、実数の掛け算も当然可換であるということになるのです。
「いくらでも近似できる」のような難しい考え方をすでにマスターしている人は実数(連続量)の掛け算の可換性が実はおはじきを長方形型に並べる直観的に非常にわかりやすい話から出て来ることをすぐに理解できるはずです。
つまり、おはじきを長方形型に並べる話は実数の掛け算の可換性をも導くのです！
以上はそのまま算数教育に使える話だとは言っていないことに注意して下さい。意識して少しだけ難しい話をしてみました。
しかし、算数教育の専門家には、おはじきを長方形型に並べるのと同じ考え方で分数や有限小数の掛け算も理解でき、したがって実数(連続量)の掛け算にも繋げることができるという話を当然の教養として知っておいて欲しいと思います。
こういう話がどこまで面白いかはわかりませんが、せっかくなので説明してみました。もしかして易し過ぎる話でしたか？
(2) 足し算と掛け算の公理的な特徴付け方
せっかくなのでもうひとつ。
3×5 を 3+3+3+3+3 と定めるというような方法で掛け算を定義せずに、以下で説明するように別の方法でも 3×5 が何であるかを確定させることもできます。
まず、3×5について子どもに教える立場の人であれば算数で習う足し算や掛け算がその導入の仕方によらずに以下の性質を持っていることを知っていると思います。
(1) (a＋b)＋c = a＋(b＋c)
(2) (a×b)×c = a×(b×c)
(3) a×(b＋c) = a×b ＋ a×c, (a＋b)×c = a×c ＋ b×c
(4) a×1 = a, 1×a = a
結合法則(1), (2)のおかげで３つ以上の数の足し算や掛け算を括弧を略して、a＋b＋c、a×b×c と書いても問題が無くなります。それらを (a＋b)＋c、(a×b)×c で計算しても、a＋(b＋c)、a×(b×c) で計算しても結果は同じになります。
特に 1+1+1+1+1 のような式を書いても良いということになります。
1+1+…+1 と表わされる数の足し算の可換性(交換法則)は結合法則(1)から導かれます。
たとえば 3 = 1+1+1、5 = 1+1+1+1+1 について
3 + 5 = (1+1+1)+(1+1+1+1+1) = (1+1+1+1+1)+(1+1+1) = 5 + 3.
二番目の等号で結合法則を複数回用いています。
分配法則(3)は足し算と掛け算の関係を記述しているだけではなく、実は1の性質(4)と合わせると 1+1+…+1 と表わされる数の掛け算が何であるかを確定させてしまいます。
たとえば、
3×5 = 3×(1+1+1+1+1)
= 3×1＋3×1＋3×1＋3×1＋3×1 ((3)左)
= 3＋3＋3＋3＋3 ((4)左)
= 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1.
同様に(3)左と(4)左を使って
5×3 = 5＋5＋5
となることと(3)右と(4)右を使って
3×5 = (1+1+1)×5
= 1×5＋1×5＋1×5 ((3)右)
= 5＋5＋5 ((4)右)
となることから可換性 5×3 = 3×5 も導かれます。
要するに算数で習う 1,2,3,4,... の足し算と掛け算はそれぞれの結合法則(2)および分配法則(3)と1の性質(4)で自然に唯一通りに確定してしまうわけです。(実際には結合法則(2)もいらない。自然数の積は(3)、(4)だけで一意に確定する。)
足し算と掛け算に関するたった4つの法則を知っておけば十分です。(実際には可換性 (5) a×b = b×a も覚えておいた方が良いでしょう。)
このような話は数学をちょっと勉強した人であれば誰でも知っていることです。
「3×5 は3つのモノを含む集まりが5つあることだ」
のようなことを言わなくても掛け算を特徴付けることができ、可換性も容易に証明されます。
上の計算では 3×5 は自然な計算で 3+3+3+3+3 にもなるし、5+5+5 にもなります。
3×5 を理解するための出発点でどちらか片方を選ぶ必要はないのです。
ココ（上の５行）が大嘘。騙されてはいけない！
（注）上の５行の数学的内容それ自体でなく、それを順序を考えるコトがオカシイという根拠に見せかけているところ、が大嘘という意味。
「上の計算では 3×5 は自然な計算で 3+3+3+3+3 にもなるし、5+5+5 にもなります。」（＊）
をみちびきだすのに（３）の両方！や（４）の両方！を使っている。それらは「当たり前のこと」と認めている。これでは話にならない。また、数学や算数では（数学から話を広げて「自然科学」とするとよりいっそう）こんな「計算上の」公理的な扱いをせずに
3×5=3+3+3+3+3
と考えるほうが自然な考え方。それを（＊）とわざわざ「自然な計算」と言ってごまかしている。
黒木の述べている考え方は構成的計算としては「自然」（数学の方言）であるが、考え方としてはそれ自体数学として不自然ではなくても、
「3×5=3+3+3+3+3と考えるほうが、考え方として（ずっと）自然」
である。それはものの見方によるというならば少なくとも同程度に自然である。というワケで黒木のこの説明は
「3×5=3+3+3+3+3と自然に考えた場合、5×3=5+5+5となる」
と考える事が「非論理的」（であるワケないが）あるいは「不自然」であるとする根拠たりえない。
こういうふうに別の切り口を示しただけでゴマカシておいて
この後（以下）はカッコヨサゲなはなしをサラっと持ち出してカッコウをつけて、上でナンの根拠も示していないことをゴマカシているだけ。本筋のはなしにはナンの関係も無い。
（元記事の引用続き）もちろん、数学的にウルトラ厳密に考えたい場合にはさらに細かいことを色々言わなければいけないかもしれません(特に存在証明)。ここではそういう厳密な議論は省略します。
最後に念のために強調しておきますが、上のような足し算と掛け算の理解の仕方はいち解釈に過ぎません。他にも色々な考え方をできます。
「3×5 は3つのモノを含む集まりが5つあることだ」のような発想に凝り固まって
しまった人は奇妙奇天烈な掛け算の解釈を見付けることで色々遊んでみると良いかもしれません。
いろいろ考えられると言っているだけ。当たり前。「「3×5 は3つのモノを含む集まりが5つあることだ」と「自然に」考えることがおかしいという結論にはならない。「のような発想に凝り固まって」という卑怯なレトリックに騙されてはいけない。
ちなみに最近の数学の話 (F_1 = F_un = 一元体がらみの話) ではじめから掛け算はあるが、足し算はない世界にどのように足し算を導入するかのような話が出て来ます。つまりその話では掛け算を使った足し算の解釈が登場することになります。
足し算が先にあって掛け算はその後に導入されるというのも単なる思い込みに過ぎないのです。とにかく色々頭を柔らかくしないとダメです。(実はそれは結構大変なこと！ 常日頃からの努力が必要！)
この手の知識が直接教育の現場で役に立つことはないかもしれませんが、個人的な希望としては大事な教養のひとつだとみなしてもらいたいです。大人なら誰でも知っているような算数レベルの足し算・掛け算であっても現代数学の最先端の立場から様々な考え方がされているという事実は結構面白いのではないでしょうか。
【２】A31. へのコメント
◆Q31. 私にも蒸し返させて下さい。確かに抽象的な数の掛け算には交換法則(可換性とも言うらしいですね)が成り立つので a×b と b×a の区別を強調することはナンセンスです。しかし、算数では抽象的な数だけではなく、
「１あたり量」「いくつ分」のような意味を持った数を教えます。
「１あたり量×いくつ分」の意味での掛け算では交換法則は成立しません。たとえば柴田義松監修、銀林浩・篠田幹男編著の『算数の本質がわかる授業(2)かけ算とわり算』 (日本標準、2008年) の第1章「乗除の学び方・教え方 『１あたり量×いくつ分＝全体量』の射程と問題点」にもそのように書いてあります。引用しましょう。
かけ算の導入には，大きくいって３つの方針がありえます。
（a）同数累加：同じ数をたすことの簡略化がかけ算だとする：
２＋２＋２＝２×３
（b）倍：「２の３つ分を２の３倍といい，２×３と書く」
（c）１あたり量×いくつ分＝全体量（内包量×土台量＝全体量）
中略
サイコロキャラメルの場合は「下降型」ですから、認識の順序に式を書くことにすると、
３箱×２個／箱＝６個
となるでしょうが、本書では「１あたり量×いくつ分」で統一しています。
ただ、（c）の乗法は、かけられる２つの数量の性格が違いますから、それらの数量を入れ替えることはできません。つまり交換法則は成り立たないのです。そこが単なる数の計算とは異なるところです（その点は（a）や（b）の乗法でも大なり小なり同じですが）。
純粋な抽象数の場合には、先のかけわり図で「１あたり量」と「いくつ分」の区別などありませんので、それらを除いて右側面から眺めれば、３×２に見えますから、
２×３＝３×２
となって交換法則が成り立つ道理です。
このように純粋に抽象的な数の掛け算の交換法則の成立を明確に認めた上で、意味のある掛け算における交換法則の成立を否定しています。銀林浩氏もまた算数教育の大家だと思います。やはり「１あたり量×いくつ分」の意味での掛け算では交換法則が成立しないのではないでしょうか？
◇A31. いいえ。
「１あたり量×いくつ分」の意味での掛け算でも可換性(交換法則)は成立しています。実際、２個/箱×３箱＝６個＝３個/箱×２箱ですよね。
たとえば、千円札が3枚入っている袋を5つもらっても、千円札が5枚入っている袋を3つもらっても、15枚の千円札が手に入ることに変わりはない、というようなことを理解できないようでは、掛け算について理解したとは言えないでしょう？この程度のことを理解できないようでは日常生活に困ること間違い無しです。
すでに上の方のQ&Aでも述べていたことですが、算数の掛け算が応用可能な状況では必ず掛け算の可換性が成立していなければいけません。掛け算の可換性が成立していない状況に算数の掛け算は応用できません。当たり前のことなのでよく考えてみて下さい。
おそらく、銀林さんたちは、キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況とキャラメルが３個はいっている箱が２つある状況は互いに異なることと、掛け算の交換法則の話を混同してしまっているのでしょう。(もしくは別の種類の解釈で異なる二つの状況を混同することと掛け算の交換法則の話を混同しているのかもしれない。)
(A) キャラメルが２個はいっている箱が３つあると説明しているのに、キャラメルが３個はいっている箱が２つあると考えるのは誤りです。
⇧コレハ大切。
(B) しかし、２個/箱×３箱＝３個/箱×２箱は明らかに成立しています。実際、キャラメルが２個はいっている箱が３つあっても
キャラメルが３個はいっている箱が２つあってもどちらもキャラメルの総数は６個になります。
⇧コレモ大切。
これらはまったく別の問題です。(A)を理由に掛け算の交換法則が成立しないと主張するのは誤りだし、(B)を理由にキャラメルが２個はいっている箱が３つある状況とキャラメルが３個はいっている箱が２つある状況はどちらも同じだと考えるのも誤りです。
⇧コレモ大切。
銀林さんたちに限らず、掛け算について変なことを言っている算数教育家たちには「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」と「２×３」という掛け算の式をできるだけ同一視したがる傾向があるように思えます。
「同一視」は（数学者であるからそんなことは）していないと思うが、
「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」で「１あたり量＝２、いくつ分＝３」と考えて同数累加を掛け算の式で表したものを「２×３」とする。というのは正しい。
このとき
「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」
と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」となって「２×５」とはならない。
「５×２」から「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」であるとするのは無理でも、
『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』
というのはマチガイ。
キャラメルの問題の文脈では「２×３」という式を書いただけで「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」を意味すると思い込んでいるのではないか？実際にそのように思い込んでいるならば、その文脈で「３×２」という式を見た途端にその式は「キャラメルが３個はいっている箱が２つある状況」を意味していると思ってしまうことも理解できます。そのような思い込みを根拠にキャラメルの問題の文脈では「２×３」と「３×２」は等しくない考えてしまう。他の種類の妙な思い込みもあるようなので、これとは別の思い込みがある可能性もあります。
いずれにせよ、掛け算の可換性(交換法則)を否定してしまうような思い込みはデタラメなので教育の現場から根絶されるべきだと思います。
同様に
「キャラメルが２個はいっている箱が３つある状況」で「１あたり量＝２、いくつ分＝３」と考えて同数累加を掛け算の式で表したものを「２×３」とするとき
『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』
という思い込みも
デタラメなので教育の現場に持ち込んではならない。
このように算数教育の大家は必ずしも信用できないので注意した方が良いです。デタラメが書かれた本を参考にして算数の授業の仕方を研究しなければいけない小学校の先生は本当に大変だと思います。
同様に
『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』
と言っている数学者や物理学者も必ずしも信用できないので注意した方が良い。
（この質問への回答での黒木は真っ当。ただしバイアスがかかっているのは相変わらず。）
この話題の大きな特徴は同じような議論が何度も繰り返されることです。それだけ馬鹿げた考え方が広まってしまっているということなのでしょうか？馬鹿げた考え方を広めている人たちの責任は非常に重いと言わざるを得ません。
同様に
『「キャラメルが５個はいっている箱が２つある状況」で「１あたり量＝５、いくつ分＝２」と考えて同数累加を掛け算の式で表したものは「５×２」にも「２×５」にもなる。』という主張も
何度も繰り返されている。それだけ馬鹿げた考え方が広まってしまっているということだろう。
馬鹿げた考え方を広めている人たちの責任は非常に重いと言わざるを得ません。その通り。
最終更新：2014年07月21日 00:47
