英語圏の掛け算の順序
1. 算数教育ワールドでは標準の「一つ分×幾つ分の順序に書く」というルールは日本語の構造から自然に出て来ない。
たとえば「8個ずつ6人に配る」と「6人に8個ずつ配る」は同じ意味である。英語圏においても6×8は「6個の8の和」(被乗数は8)を意味するとは限らない。英語圏では1×1も 1 times 1 と読む。だから 6 times of 8 の times と 6×8 の×の意味での times は完全に同じものではない。そして multiply 6 times 8 は multiply 6 by 8 (被乗数は6)と同じ意味である。この場合の times は by と同じ働きをする前置詞になる。さらに、昔の英語の算数の本に4×3の被乗数(multiplicand)は4だとするもの (1841年出版の Arithmetic: Designed for Academies and Schools という本のp.44) があることも、英語の文法的構造だけで掛算の順序が決まらないことの証拠になっている：
Arithmetic: Designed for Academies and Schools (1841) p.44
注１）
ここの記述は論理的で信じてよいものだが、注意してほしいのは「「一つ分×幾つ分の順序に書く」というルールは日本語の構造から出て来るものではない」ということを述べているのであって、英語圏でも、２通りの流儀があるものの「掛け算の順序を固定した」教え方をしているということである。ここの記述は以下のように続く。
算数教育ワールドでは自然言語の構造から自然に掛算の順序に関するルールが出て来るかのように語られることが多いようだが、それは誤りである。「掛け算の順序と自然言語の対応についてちょっとだけ」も参照されたい。
Q. I've noticed that the authors of general mathematics textbooks most often explain a multiplication problem when presented horizontally, like 20 x 5 = 100, as multiplier x multiplicand = product. But in business mathematics textbooks, the authors explain the same multiplication problem as multiplicand x multiplier = product. For example, the problem 20 x 5 is thought to be 20 5s in general math texts, while in business math texts, it's thought of as five 20s. Why is there this inconsistency?
この質問は general mathematics textbooks では「乗数×被乗数」、business mathematics textbooks では「被乗数×乗数」と異なる流儀を採用している理由を尋ねている。この質問だけでも、英語圏における教科書であっても「被乗数×乗数」の順序を採用している場合があることがわかる。この質問に対する Marilyn Burns さんの回答は以下の通り(色付け（赤）による強調は引用者による)。
A. To my knowledge, there is no definitive consensus in the mathematical community about whether a multiplication expression such as 20 x 5 represents multiplier x multiplicand or multiplicand x multiplier.
When you see 20 x 5 without a contextual reference, one interpretation, as you point out, is that 20 is the multiplier, so 20 x 5 would represent “20 groups of 5” or “twenty 5s.” Another interpretation, equally valid,} is that 5 is the multiplier, so 20 x 5 would represent “20 five times.” Since multiplication is commutative, and both interpretations produce the same answer, arguing for one way over the other is an argument only of mathematical semantics, not correctness. When you think about 20 x 5 abstractly, out of any context, preferring one convention over the other is an arbitrary choice. Instructional programs for elementary mathematics generally choose one interpretation over the other when presenting multiplication to children.
However, if a multiplication expression represents a particular situation, then it's important to be clear about its numerical representation. For example, if the expression referred to twenty $5 bills, then your observation is that a general math text would represent it as 20 x 5 while a business math text would represent it as 5 x 20. Neither is more precise or accurate than the other.
When teaching children, I prefer to use the interpretation of multiplier x multiplicand and refer to the “x” sign as “groups of.” My goal is to help emphasize the important idea that combining equal groups is essential to multiplication. However, what's important is that children can represent situations that call for multiplication symbolically and, no matter which way they order the factors, explain how the symbolism relates to the situation at hand.
Marilyn Burns
英語圏においても「乗数×被乗数」(general mathematics textbooks)と「被乗数×乗数」(business mathematics textbooks)の両方の解釈があり、どちらの解釈も等しく正しい。
注２）
正確には「ある特別な背景がなければ」どちらの解釈も等しく正しく「どちらの記法を選ぶか」は任意である、と書いてある。つまり「記法を選ぶべきこと」は否定していない！
注３）
２段落の最後には「算数教育においては、一般に一方の解釈を選んで掛け算を説明している」と書いてある。
Marilyn Burns さんは、同じ大きさのグループの合併が掛算の本質であることを教えるために、子どもに教えるときには、乗数×被乗数の順序を使って、×の記号を "groups of" と読むことを好むという。しかし、重要なのは、子どもたちが掛算を使える状況を表現でき、掛算の式の順序をどのように書いたかとは無関係に掛算の式が掛算を使える状況とどのように繋がっているかを説明できるようになることだと述べている。
注４）
つまり、同じ大きさのグループの合併が掛算の本質であることを教えるために、どちらの順序でもよいのだが「一方の順序を固定して」教えることは自然であるという了解のもとにMarilyn Burnsさんは回答している。はじめから「掛け算に順序はない」と教えることは論外としているように読める。
要するに、掛算の順序は掛算の考え方を教えるための便宜として利用するだけだということである。目標は、掛算の考え方を教えることであり、掛算の順序を教え込むことではない。
注５）
但し、はじめから「掛け算に順序はない」と教えることにはならないのである。
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最終更新：2014年07月21日 01:00
