投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。 ---- 問題1(st) <math>\sum_{k=0}^6 73^{k}31^{6-k}\equiv1(mod42)</math>を示せ。 問題2(st) stの要望により削除されました 問題3(st) <math>\Delta ABC</math>は<math>AB=2,BC=4,CA=3</math>であり、辺<math>BC</math>上に<math>BP=1</math>なる点Pをとる。このとき、<math>2 \angle ABC+3 \angle BAP=180^{\circ}</math>を示せ。 問題4(i) 四角形<math>ABCD</math>において、<math>AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=70^{\circ},\angle DCB=20^{\circ}</math>のとき、四角形<math>ABCD</math>の面積を求めよ。 問題5(i) 四角形<math>ABCD</math>において、<math>AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=80^{\circ},\angle DCB=40^{\circ}</math>のとき、四角形<math>ABCD</math>の面積は一辺の長さが<math>1</math>の正三角形の面積の何倍か。 問題6(st) <math>\sum_{i=1}^n a_{i} = \prod_{i=1}^n a_{i}</math>は必ず自然数解を持つことを示せ。 問題7(st) <math>m</math>が偶数の時、<math>\sum_{i=0}^m 3^{i}</math>と<math>\sum_{i=0}^m (-3)^{i}</math>の最小公倍数は何か。 問題8(anco) <math>\Delta ABC</math>があって<math>BC</math>上に<math>D</math>があり<math>AC</math>上に<math>E</math>がある。 <math>BF:FD=3:1</math> <math>\Delta AFE=\Delta BDF</math> このとき<math>\Delta EFA</math>の面積は<math>\Delta ABC</math>の面積の何倍か。 問題9(0) <math>gcd(a,b)=7</math> <math>lcm(b,c)=42</math> <math>lcm(c,a)=70</math> なる自然数<math>(a,b,c)</math>の組を全て求めよ 問題10(^) <math>200</math>個の小島よしおがあり、特定の<math>2</math>つの島を行き来する船がいくつかある。どの小島から出発しても、ちょうど<math>3</math>つの船に乗って元の島に帰る事はできない。このとき、船は最大で何隻あるか。(<math>10000</math>隻) 問題11(st) 立方体をある平面で切断すると六角形ができることがある。それの頂点を<math>M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}</math>とする。三角形<math>M_{1}M_{3}M_{5},M_{1}M_{2}M_{3},M_{3}M_{4}M_{5},M_{5}M_{6}M_{1}</math>の面積を<math>S,V_{1},V_{2},V_{3}</math>とするとき <math>S \geq V_{1}+V_{2}+V_{3}</math> を示せ。 問題12（Anco) 二つの船<math>\alpha</math>と<math>\beta</math>がある。両方とも分速<math>400</math>ｍである。あるとき<math>\alpha</math>がある川の下流<math>A</math>から上流<math>B</math>にいき<math>10</math>分休憩したあと<math>A</math>に向かう。<math>\beta</math>は<math>B</math>から<math>A</math>に向かってと同時に出発し到着すると休んだあと再びBにいく。 最初に出会ったとき<math>\beta</math>が<math>\alpha</math>のエンジンを破壊し<math>\alpha</math>は<math>4</math>分間流されたあと直って同じスピードで進み始めた。 二回目に出会ったとき川の流れが<math>2</math>倍になった。すると<math>\alpha</math>はちょうど予定通りに<math>A</math>にたどり着いた。二回目に出会った場所を<math>C</math>とすると<math>AB:BC</math>は<math>3:2</math>になる。川の流れは<math>80</math>mである。<math>\beta</math>は<math>A</math>で何分休んだか。 問題13(0) <math>A</math>から<math>B</math>まで<math>16</math>mで行きたい。今図の<math>6</math>つの地点が通行止めになっている。これから<math>4</math>つの地点を通行止めにする。このとき<math>A</math>から<math>B</math>まで行けなくなるような<math>4</math>つは何通りあるか。 問題14(0) [http://www5.atwiki.jp/seikosuken?cmd=upload&act=open&pageid=17&file=jisaku1.bmp 図] りんご<math>5</math>こ、みかん<math>3</math>こ、チョコ<math>1</math>この合計が<math>500</math>円で、りんご<math>4</math>こ、みかん<math>6</math>こ、チョコ<math>2</math>この合計が<math>640</math>円であるとき、りんご、みかん、チョコの値段で考えられる組み合わせは何通りあるか。但し、りんご、みかん、チョコはどれも<math>10</math>円以上とする。 問題15(F) 円<math>O</math>の周上に等間隔に<math>12</math>個の点を置く。 これらの点から適当に<math>4</math>点を選び,四角形<math>ABCD</math>をつくる。 四角形<math>ABCD</math>の面積を<math>a</math>,円Ｏから<math>a</math>を引いた面積を<math>b</math>とする。 <math>\frac{b}{a}</math>を小数第<math>2</math>位で四捨五入すると,<math>1.8</math>になるという。 円周率を〈math〉3.14とするとき、四角形<math>ABCD</math>の点の取り方の組み合わせは□通りである。 問題16(Anco) [http://www5.atwiki.jp/seikosuken?cmd=upload&act=open&pageid=17&file=kyoentemp.bmp 図] 次の図の示された角の大きさの和を求めよ。 問題17(F) つぎの条件<math>A</math>を満たす自然数を小さい順に並べた数列を<math>N</math>とする。 <math>A</math>：<math>1</math>を足すと素数になり,<math>3</math>を足しても素数になる。又,<math>5</math>を足すと<math>11</math>で割り切れる。 いま数列<math>N</math>の初項を<math>\alpha</math>とするとき<math>\alpha</math>を求めよ。 問題18(t) <math>A,B,C,D,E</math>はそれぞれ自然数である。このとき、次の方程式を解け。なお、ルートの中身は()で囲んであるところのみである。 <math>A=\sqrt{4B-7}\cdots[1]</math> <math>B=\sqrt{6C-14}\cdots[2]</math> <math>C=\sqrt{8D-23}\cdots[3]</math> <math>D=\sqrt{10E-34}\cdots[4]</math> <math>E=\sqrt{2A+23}\cdots[5]</math> 問題19(t) あるところにもちという人がいました。この人は一日中暇なので、ある細長い紙に<math>2008</math>桁の数字を書いています。そしてこの数字の連続する桁をうまく抜き出すことで、<math>2008</math>の倍数にできる数字を見つけることができたら、そのもちという人は感激して発狂します。さて、このもちという人が発狂する確率はどのくらいでしょうか。 例えば、<math>1234</math>・・・・<math>4016</math>・・・・<math>4321</math>は<math>4016</math>という<math>2008</math>の倍数を含んでいるため、このもちという人は発狂します。 注：もともと発狂しているから<math>100</math>％であるという答えは当たっているかもしれませんが、この問題では間違いです。 問題20(t) ここに<math>A \sim F</math>の<math>6</math>人いて、<math>F</math>は寝ています。この<math>6</math>人はある数について話し合っています。この<math>6</math>人は一方はうそ、一方は本当という意見を言っています。 <math>A</math>：<math>2</math>で割りきれる。各桁の和は９である。 <math>B</math>：<math>18</math>で割りきれる。<math>3330</math>の約数である。 <math>C</math>：各桁の和は<math>10</math>である。奇数である。 <math>D</math>：<math>2</math>で割りきれない。各桁の和は<math>12</math>ではない。 <math>E</math>：<math>24</math>で割りきれる。平方数ではない。 <math>F</math>：僕はねていない。この数は□です。 さて、□に入る数は何でしょう。
下から選んでください:
