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「自作問題集(1~20)」(2008/04/29 (火) 13:24:53) の最新版変更点
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投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。
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問題1(st)N
作成者の要望により削除されました．(st)
問題2(st)N
下の不等式を満たす非負整数<math>(a,b)</math>のくみをすべてもとめよ。
<math>a^{2}b+ab^{2}+1 \geq a^{3}+b^{3}</math>
最初消していましたが、復帰します。
いまさら解答（４／２６）
(右辺)-(左辺-1)=(a+b)(a-b)^2であり，(a-b)^2>=０，また仮定より(a+b)>=0となるから(右辺)>=(左辺-1). よって(左辺)=(右辺)または(左辺-1)=(右辺)． これを解いて
(a,b)=(1,0),(0,1),(k,k)(kは任意の非負整数)
問題3(st)G
<math>\Delta ABC</math>は<math>AB=2,BC=4,CA=3</math>であり、辺<math>BC</math>上に<math>BP=1</math>なる点Pをとる。このとき、<math>2 \angle ABC+3 \angle BAP=180^{\circ}</math>を示せ。
いまさら解答（４／２８）
BCの中点M，角Bの2等分線とACの交点Dをとると三角形ABD,MBDは合同． よってAD=MD=1. 三角形CMD,CPAは相似だからAP=3/2が得られる．角の2等分線の定理よりBDとAPの交点をQとするとAD=MD=AQ=1となる．またAQ//DMだから四角形AQMDは菱形．よって三角形CPAは2等辺三角形だから角CAP=角CPA=角BAP+2角ABD-?. また角AQD=角ADQ=角BAP+角ABD-!. ?,!より三角形AQDで4角ABD+3角BAP=2角ABC+3角BAP //
問題4(i)G
四角形<math>ABCD</math>において、<math>AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=70^{\circ},\angle DCB=20^{\circ}</math>のとき、四角形<math>ABCD</math>の面積を求めよ。
問題5(i)G
四角形<math>ABCD</math>において、<math>AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=80^{\circ},\angle DCB=40^{\circ}</math>のとき、四角形<math>ABCD</math>の面積は一辺の長さが<math>1</math>の正三角形の面積の何倍か。
問題6(st)N
<math>\sum_{i=1}^n a_{i} = \prod_{i=1}^n a_{i}</math>は必ず自然数解を持つことを示せ。
いまさら解答（４／２６）
(1,1,・・・1,2,n)(1はn-2個）
問題7(st)N
<math>m</math>が偶数の時、<math>\sum_{i=0}^m 3^{i}</math>と<math>\sum_{i=0}^m (-3)^{i}</math>の最小公倍数は何か。
いまさら解答（４／２６）
3^mの方に3-1=2を，(-3)^mの方に3+1=4をかけると3^mの方は3^m-1に，(-3)^mの方は(-3)^mになる(mが偶数だから). この2つの最大公約数は2で，3^mの方，3^mの方はどちらも奇数だから互いに素． よって最小公倍数は2数の積の9^m-1/8 //
問題8(anco)G
<math>\Delta ABC</math>があって<math>BC</math>上に<math>D</math>があり<math>AC</math>上に<math>E</math>がある。
<math>BF:FD=3:1</math>
<math>\Delta AFE=\Delta BDF</math>
このとき<math>\Delta EFA</math>の面積は<math>\Delta ABC</math>の面積の何倍か。
問題9(0)N
<math>gcd(a,b)=7</math>
<math>lcm(b,c)=42</math>
<math>lcm(c,a)=70</math>
なる自然数<math>(a,b,c)</math>の組を全て求めよ
問題10(^)C
<math>200</math>個の小島よしおがあり、特定の<math>2</math>つの島を行き来する船がいくつかある。どの小島から出発しても、ちょうど<math>3</math>つの船に乗って元の島に帰る事はできない。このとき、船は最大で何隻あるか。(<math>10000</math>隻)
問題11(st)G
立方体をある平面で切断すると六角形ができることがある。それの頂点を<math>M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}</math>とする。三角形<math>M_{1}M_{3}M_{5},M_{1}M_{2}M_{3},M_{3}M_{4}M_{5},M_{5}M_{6}M_{1}</math>の面積を<math>S,V_{1},V_{2},V_{3}</math>とするとき
<math>S \geq V_{1}+V_{2}+V_{3}</math>
を示せ。
問題12（Anco)N
二つの船<math>\alpha</math>と<math>\beta</math>がある。両方とも分速<math>400</math>ｍである。あるとき<math>\alpha</math>がある川の下流<math>A</math>から上流<math>B</math>にいき<math>10</math>分休憩したあと<math>A</math>に向かう。<math>\beta</math>は<math>B</math>から<math>A</math>に向かってと同時に出発し到着すると休んだあと再びBにいく。
最初に出会ったとき<math>\beta</math>が<math>\alpha</math>のエンジンを破壊し<math>\alpha</math>は<math>4</math>分間流されたあと直って同じスピードで進み始めた。
二回目に出会ったとき川の流れが<math>2</math>倍になった。すると<math>\alpha</math>はちょうど予定通りに<math>A</math>にたどり着いた。二回目に出会った場所を<math>C</math>とすると<math>AB:BC</math>は<math>3:2</math>になる。川の流れは<math>80</math>mである。<math>\beta</math>は<math>A</math>で何分休んだか。
問題13(0)C
[http://www5.atwiki.jp/seikosuken?cmd=upload&act=open&pageid=17&file=jisaku1.bmp 図]
<math>A</math>から<math>B</math>まで<math>16</math>mで行きたい。今図の<math>6</math>つの地点が通行止めになっている。これから<math>4</math>つの地点を通行止めにする。このとき<math>A</math>から<math>B</math>まで行けなくなるような<math>4</math>つは何通りあるか。
問題14(0)N
りんご<math>5</math>こ、みかん<math>3</math>こ、チョコ<math>1</math>この合計が<math>500</math>円で、りんご<math>4</math>こ、みかん<math>6</math>こ、チョコ<math>2</math>この合計が<math>640</math>円であるとき、りんご、みかん、チョコの値段で考えられる組み合わせは何通りあるか。但し、りんご、みかん、チョコはどれも<math>10</math>円以上とする。
問題15(F)CG
円<math>O</math>の周上に等間隔に<math>12</math>個の点を置く。
これらの点から適当に<math>4</math>点を選び,四角形<math>ABCD</math>をつくる。
四角形<math>ABCD</math>の面積を<math>a</math>,円Ｏから<math>a</math>を引いた面積を<math>b</math>とする。
<math>\frac{a}{b}</math>を小数第<math>2</math>位で四捨五入すると,<math>1.8</math>になるという。
円周率を〈math〉3.14とするとき、四角形<math>ABCD</math>の点の取り方の組み合わせは□通りである。
問題16(Anco)G
∠c＝40∠ｇ＝30∠ｈ＝50
次の図の示された角の大きさの和を求めよ。図はしたね。
問題17(F)
Fの要望により削除されました。
問題18(t)N
<math>A,B,C,D,E</math>はそれぞれ自然数である。このとき、次の方程式を解け。なお、ルートの中身は()で囲んであるところのみである。
<math>A=\sqrt{4B-7}\cdots[1]</math>
<math>B=\sqrt{6C-14}\cdots[2]</math>
<math>C=\sqrt{8D-23}\cdots[3]</math>
<math>D=\sqrt{10E-34}\cdots[4]</math>
<math>E=\sqrt{2A+23}\cdots[5]</math>
答：Ａ＝１、Ｂ＝２、Ｃ＝３、Ｄ＝４、Ｅ＝５
問題19(t)N
あるところにもちという人がいました。この人は一日中暇なので、ある細長い紙に<math>2007</math>桁の数字を書いています。そしてこの数字の連続する桁をうまく抜き出すことで、<math>2007</math>の倍数にできる数字を見つけることができたら、そのもちという人は感激して発狂します。さて、このもちという人が発狂する確率はどのくらいでしょうか。
例えば、<math>1234</math>・・・・<math>4014</math>・・・・<math>4321</math>は<math>4014</math>という<math>2007</math>の倍数を含んでいるため、このもちという人は発狂します。
注：もともと発狂しているから<math>100</math>％であるという答えは当たっているかもしれませんが、この問題では間違いです。
答：１００％
問題20(t)N
ここに<math>A \sim F</math>の<math>6</math>人いて、<math>F</math>は寝ています。この<math>6</math>人はある数について話し合っています。この<math>6</math>人は一方はうそ、一方は本当という意見を言っています。
<math>A</math>：<math>2</math>で割りきれる。各桁の和は９である。
<math>B</math>：<math>18</math>で割りきれる。<math>3330</math>の約数である。
<math>C</math>：各桁の和は<math>10</math>である。奇数である。
<math>D</math>：<math>2</math>で割りきれない。各桁の和は<math>12</math>ではない。
<math>E</math>：<math>24</math>で割りきれる。平方数ではない。
<math>F</math>：僕はねていない。この数は□です。
さて、□に入る数は何でしょう。
答：３３３
投票会を春休みかなんかにやります。それまでじっくり見たり解いてみたりしてください。
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問題1(st)N
作成者の要望により削除されました．(st)
問題2(st)N
下の不等式を満たす非負整数<math>(a,b)</math>のくみをすべてもとめよ。
<math>a^{2}b+ab^{2}+1 \geq a^{3}+b^{3}</math>
最初消していましたが、復帰します。
いまさら解答（４／２６）
(右辺)-(左辺-1)=(a+b)(a-b)^2であり，(a-b)^2>=０，また仮定より(a+b)>=0となるから(右辺)>=(左辺-1). よって(左辺)=(右辺)または(左辺-1)=(右辺)． これを解いて
(a,b)=(1,0),(0,1),(k,k)(kは任意の非負整数)
問題3(st)G
<math>\Delta ABC</math>は<math>AB=2,BC=4,CA=3</math>であり、辺<math>BC</math>上に<math>BP=1</math>なる点Pをとる。このとき、<math>2 \angle ABC+3 \angle BAP=180^{\circ}</math>を示せ。
いまさら解答（４／２9）
BCの中点M，角Bの2等分線とACの交点Dをとると三角形ABD,MBDは合同． よってAD=MD=1. 三角形CMD,CPAは相似だからAP=3/2が得られる．角の2等分線の定理よりBDとAPの交点をQとするとAD=MD=AQ=1となる．またAQ//DMだから四角形AQMDは菱形．よって三角形CPAは2等辺三角形だから角CAP=角CPA=角BAP+2角ABD-?. また角AQD=角ADQ=角BAP+角ABD-!. ?,!より三角形AQDで4角ABD+3角BAP=2角ABC+3角BAP //
問題4(i)G
四角形<math>ABCD</math>において、<math>AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=70^{\circ},\angle DCB=20^{\circ}</math>のとき、四角形<math>ABCD</math>の面積を求めよ。
問題5(i)G
四角形<math>ABCD</math>において、<math>AB=CD,AD=3,BC=5,\angle ABC=80^{\circ},\angle DCB=40^{\circ}</math>のとき、四角形<math>ABCD</math>の面積は一辺の長さが<math>1</math>の正三角形の面積の何倍か。
問題6(st)N
<math>\sum_{i=1}^n a_{i} = \prod_{i=1}^n a_{i}</math>は必ず自然数解を持つことを示せ。
いまさら解答（４／２６）
(1,1,・・・1,2,n)(1はn-2個）
問題7(st)N
<math>m</math>が偶数の時、<math>\sum_{i=0}^m 3^{i}</math>と<math>\sum_{i=0}^m (-3)^{i}</math>の最小公倍数は何か。
いまさら解答（４／２６）
3^mの方に3-1=2を，(-3)^mの方に3+1=4をかけると3^mの方は3^m-1に，(-3)^mの方は(-3)^mになる(mが偶数だから). この2つの最大公約数は2で，3^mの方，3^mの方はどちらも奇数だから互いに素． よって最小公倍数は2数の積の9^m-1/8 //
問題8(anco)G
<math>\Delta ABC</math>があって<math>BC</math>上に<math>D</math>があり<math>AC</math>上に<math>E</math>がある。
<math>BF:FD=3:1</math>
<math>\Delta AFE=\Delta BDF</math>
このとき<math>\Delta EFA</math>の面積は<math>\Delta ABC</math>の面積の何倍か。
問題9(0)N
<math>gcd(a,b)=7</math>
<math>lcm(b,c)=42</math>
<math>lcm(c,a)=70</math>
なる自然数<math>(a,b,c)</math>の組を全て求めよ
問題10(^)C
<math>200</math>個の小島よしおがあり、特定の<math>2</math>つの島を行き来する船がいくつかある。どの小島から出発しても、ちょうど<math>3</math>つの船に乗って元の島に帰る事はできない。このとき、船は最大で何隻あるか。(<math>10000</math>隻)
問題11(st)G
立方体をある平面で切断すると六角形ができることがある。それの頂点を<math>M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}</math>とする。三角形<math>M_{1}M_{3}M_{5},M_{1}M_{2}M_{3},M_{3}M_{4}M_{5},M_{5}M_{6}M_{1}</math>の面積を<math>S,V_{1},V_{2},V_{3}</math>とするとき
<math>S \geq V_{1}+V_{2}+V_{3}</math>
を示せ。
問題12（Anco)N
二つの船<math>\alpha</math>と<math>\beta</math>がある。両方とも分速<math>400</math>ｍである。あるとき<math>\alpha</math>がある川の下流<math>A</math>から上流<math>B</math>にいき<math>10</math>分休憩したあと<math>A</math>に向かう。<math>\beta</math>は<math>B</math>から<math>A</math>に向かってと同時に出発し到着すると休んだあと再びBにいく。
最初に出会ったとき<math>\beta</math>が<math>\alpha</math>のエンジンを破壊し<math>\alpha</math>は<math>4</math>分間流されたあと直って同じスピードで進み始めた。
二回目に出会ったとき川の流れが<math>2</math>倍になった。すると<math>\alpha</math>はちょうど予定通りに<math>A</math>にたどり着いた。二回目に出会った場所を<math>C</math>とすると<math>AB:BC</math>は<math>3:2</math>になる。川の流れは<math>80</math>mである。<math>\beta</math>は<math>A</math>で何分休んだか。
問題13(0)C
[http://www5.atwiki.jp/seikosuken?cmd=upload&act=open&pageid=17&file=jisaku1.bmp 図]
<math>A</math>から<math>B</math>まで<math>16</math>mで行きたい。今図の<math>6</math>つの地点が通行止めになっている。これから<math>4</math>つの地点を通行止めにする。このとき<math>A</math>から<math>B</math>まで行けなくなるような<math>4</math>つは何通りあるか。
問題14(0)N
りんご<math>5</math>こ、みかん<math>3</math>こ、チョコ<math>1</math>この合計が<math>500</math>円で、りんご<math>4</math>こ、みかん<math>6</math>こ、チョコ<math>2</math>この合計が<math>640</math>円であるとき、りんご、みかん、チョコの値段で考えられる組み合わせは何通りあるか。但し、りんご、みかん、チョコはどれも<math>10</math>円以上とする。
問題15(F)CG
円<math>O</math>の周上に等間隔に<math>12</math>個の点を置く。
これらの点から適当に<math>4</math>点を選び,四角形<math>ABCD</math>をつくる。
四角形<math>ABCD</math>の面積を<math>a</math>,円Ｏから<math>a</math>を引いた面積を<math>b</math>とする。
<math>\frac{a}{b}</math>を小数第<math>2</math>位で四捨五入すると,<math>1.8</math>になるという。
円周率を〈math〉3.14とするとき、四角形<math>ABCD</math>の点の取り方の組み合わせは□通りである。
問題16(Anco)G
∠c＝40∠ｇ＝30∠ｈ＝50
次の図の示された角の大きさの和を求めよ。図はしたね。
問題17(F)
Fの要望により削除されました。
問題18(t)N
<math>A,B,C,D,E</math>はそれぞれ自然数である。このとき、次の方程式を解け。なお、ルートの中身は()で囲んであるところのみである。
<math>A=\sqrt{4B-7}\cdots[1]</math>
<math>B=\sqrt{6C-14}\cdots[2]</math>
<math>C=\sqrt{8D-23}\cdots[3]</math>
<math>D=\sqrt{10E-34}\cdots[4]</math>
<math>E=\sqrt{2A+23}\cdots[5]</math>
答：Ａ＝１、Ｂ＝２、Ｃ＝３、Ｄ＝４、Ｅ＝５
問題19(t)N
あるところにもちという人がいました。この人は一日中暇なので、ある細長い紙に<math>2007</math>桁の数字を書いています。そしてこの数字の連続する桁をうまく抜き出すことで、<math>2007</math>の倍数にできる数字を見つけることができたら、そのもちという人は感激して発狂します。さて、このもちという人が発狂する確率はどのくらいでしょうか。
例えば、<math>1234</math>・・・・<math>4014</math>・・・・<math>4321</math>は<math>4014</math>という<math>2007</math>の倍数を含んでいるため、このもちという人は発狂します。
注：もともと発狂しているから<math>100</math>％であるという答えは当たっているかもしれませんが、この問題では間違いです。
答：１００％
問題20(t)N
ここに<math>A \sim F</math>の<math>6</math>人いて、<math>F</math>は寝ています。この<math>6</math>人はある数について話し合っています。この<math>6</math>人は一方はうそ、一方は本当という意見を言っています。
<math>A</math>：<math>2</math>で割りきれる。各桁の和は９である。
<math>B</math>：<math>18</math>で割りきれる。<math>3330</math>の約数である。
<math>C</math>：各桁の和は<math>10</math>である。奇数である。
<math>D</math>：<math>2</math>で割りきれない。各桁の和は<math>12</math>ではない。
<math>E</math>：<math>24</math>で割りきれる。平方数ではない。
<math>F</math>：僕はねていない。この数は□です。
さて、□に入る数は何でしょう。
答：３３３
