ディラック方程式の導出　制作中　　　

2015.08.24～執筆　勉強しながらなので長引いている。

　吉田信夫著「光の場、電子の海―量子場理論への道」新潮社を読むと、いままでディラック方程式を十分に理解していなかった自分にとって、目から鱗が落ちるようであった。ほとんどこの本を参考にして、自分なりに理解したことをまとめている。まだ勉強不足であるが、間違いがないことを祈る。(吉田氏は場の量子論に観測問題はないかのようなことを述べている。果たしてそうなのか自分自身で確かめたいと思っているが、どこまでできるかわからない。やるだけやってみようという気持である。ただ、場の量子論を学べば観測問題が本当になくなるのであれば、これだけ多くの人が観測問題を問題視することはなかったように思っている。つまり、場の量子論を勉強しても観測問題は曖昧になるだけで、本質的問題解決には至っていないのではないか、という思いがあるが、実際のところ勉強不足が祟っている。正直場の量子論は難しい。）

　当時、ディラックは、ｃ数、ｑ数の考えを発表し、通常の変数は交換関係 $ab = ba$ を満足するのでｃ数と呼び、量子力学的変数はこの関係を満足しない $ab \neq ba$ なので、ｑ数と呼ぼうという提案をしていた。この当時、数学の世界で行列数学が既にあり、行列A、Bの積は一般的に非可換であることが知られていた。ｑ数を行列のようなものという直感がディラックにあったと思われる。アインシュタインの特殊相対論から、

$E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2$ (1)

と書ける。（ここで、mは静止質量、pは運動量であるが、pはローレンツ変換された運動量でありmvではない。）この式から、ディラックの直感で、q数α、βを導入し、

$E = (mc^2)\alpha + (pc)\beta$ (2)

と書けるα、βがあるのではないかと推察した。α、βを通常の変数と考えると（２）式が成立することはないが、q数ならばあり得る。つまり、

$\alpha^2 = \beta^2 = 1$ 　　　　　　　　

$\alpha\beta+\beta\alpha = 0$ 　　　　　（3）

が成立すれば（２）式が成立する。この式は、明らかに普通では成立しないが、行列ならば成立する。では、具体的に、どんな行列ならば成立するだろうか？簡単に２×２の行列で考えてみることにする。

行列表現で $\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}=1$ 、 $\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}=0$ と考え、この2つの行列を生成するαとβは、

$\alpha = \begin{pmatrix} 1 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \qquad \ 0 \ -1 \end{pmatrix}$ 、 $\beta=\begin{pmatrix} \qquad 0 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 1 \ -1 \ \qquad \qquad 0 \end{pmatrix}$ とすると、

$\alpha \beta = \begin{pmatrix} \qquad 0 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 1 \ \qquad 1 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \end{pmatrix}$ 、 $\beta \alpha = \begin{pmatrix} \qquad \qquad 0 \ \qquad \qquad \qquad -1 \ -1 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \end{pmatrix}$

が得られるが、α²=1,β²＝－１、αβ＋βα＝０となり、惜しくも、β²が合わない。虚数を導入してみよう。

$\alpha = \begin{pmatrix} 1 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \qquad \ 0 \ -1 \end{pmatrix}$ , $\beta=\begin{pmatrix} \qquad 0 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad i \ -i \ \qquad \qquad 0 \end{pmatrix}$ とすると、

$\alpha \beta = \begin{pmatrix} \qquad 0 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad i \ \qquad i \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \end{pmatrix}$ , $\beta \alpha = \begin{pmatrix} \qquad \qquad 0 \ \qquad \qquad \qquad -i \ -i \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \end{pmatrix}$

が得られ、α²=1,β²＝１、αβ＋βα＝０となり、式（３)を満足する結果が得られた。他の組み合わせもあり、 $\alpha = \begin{pmatrix} 1 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \qquad \ 0 \ -1 \end{pmatrix}$ 、 $\beta = \begin{pmatrix} \qquad 0 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 1 \ \qquad 1 \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 \end{pmatrix}$ も解である。これらの行列はパウリ行列と呼ばれるものσ_i(i=1,2,3)とほとんど一致している。

（１）,（２）式は空間を1次元としているので、運動量ｐはスカラーとなっているが、3次元的運動を考え、他の参考書の書式に合わせて書き換えると、

$E^2 = (cp_{x})^2 + (cp_{y})^2 + (cp_{z})^2 + (mc^2)^2$ (1')

$E = (cp_{x})\alpha_x + (cp_{y})\alpha_y + (cp_{z})\alpha_z + (mc^2)\beta$ (2')

と書ける。（２’）式は、より簡略化されて、

$E = c \mbox{\mathbf{\alpha}} \cdot \mbox{\mathbf{p}} + \beta mc^2$ (4)

と一般的参考書には記述されている。運動量ｐに関しては、 $p_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ と変換すれば量子化できるということがわかっていたので、

$\huge{ E = c \mbox{\mathbf{\alpha}} \cdot (-i\hbar \mbox{\mathbf{\nabla}}) + \beta mc^2$ (5)

と書けることになる。時間発展のシュレーディンガー方程式との類推から、

$\Huge{i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x) = [c \mbox{\mathbf{\alpha}} \cdot (-i\hbar \mbox{\mathbf{\nabla}}) + \beta mc^2] \psi(x)$ (6)

を得る。この式がディラック方程式である。

（１’）式と（２’）式の両方を満足させるためにはα、βはどんな行列であればよいかは、すでにディラックによって求められているので、これ以上の導出はやめることにする。ちなみに、α_x,α_y,α_zとβは４×４の行列となる。それゆえ、αは3個の行列からなるベクトルというものになる。

　ディラックがαとβをｑ数と考えたのかどうかは私の勝手な思い込みかもしれないが、そう考えるとなぜか納得してしまった。ディラックは最初からこれは行列と直感したのかもしれないが、後にクリフォード代数学へと発展した。シュレーディンガー方程式は、理由はよくわからないがなぜだか実験事実に合う結果を出すので正しいのだろうと言われてきたが、ディラック方程式にも同じことが言えるように思える。とにかく、相対論と量子論を融合させる式が得られた。後は、この式をどう解釈するかである。

　面倒なので、（2）式の1次元で考えることにする。（6）式を参考にして、

$\huge{ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x) = [c \alpha (-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} ) + \beta mc^2] \psi(x)$ (7)

と書けることがわかる。α、βは２×２の行列なので、Ψはスカラーではなくベクトルと考えればつじつまが合う。つまり、

(8)

と書け、

　　　　　（9）

と連立方程式になる。

　αとβの組には任意性がある。得られた方程式をどう解釈するのかについての指針は、以下の議論からいくらかわかるのではないかと考える。（以下の議論において、ベクトルを導入しない場合の計算とベクトルを導入した場合とで大きく異なることがわかった。要注意である。しかし、以下の議論は全く不十分であるので、後で書き直すことにする。）

　次の円の方程式

　　　　　（10）