『線形代数と群の表現』勉強会 - Skype数学勉強会

勉強会テキスト

• 平井武『線形代数と群の表現I』朝倉書店（すうがくぶっくす）

• 高校生から読めるテキストと前書きに書いてありますので、意欲的な高校生の方も歓迎いたします（本当に高校生が読める本かは不明）。
  
  最初のうちはテキストなしでも聴講できるよう配慮します。テキストは2巻構成になっていますが、2巻目を読むかどうかは1巻を読み終えたときに検討します。

日時

• 現在休止中（毎週土曜19:30-21:00に実施していました）

以前のテキスト

• 齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版

活動報告

第1回 2015.02.28 (Sat)

第2回 2015.03.07 (Sat)

第3回 2015.03.14 (Sat)

第4回 2015.03.21 (Sat)

第5回 2015.04.04 (Sat)

第6回 2015.04.18 (Sat)

• 2次正方行列について
  1. 行列式の幾何学的な定義と成分に依る定義の二つを扱い、それらが同じものであることを確かめた。
  2. 行列式の性質
     • 「線型独立⇔行列式がノンゼロ」
     • 行列式の交代性、双線型性
     • 「積の行列式=行列式の積」。そしてこの等式を用いて、
     • 2つのベクトルの張る平行四辺形の（符号付き）面積とそれを行列Aで移した平行四辺形の（符号付き）面積の比が、Aの行列式となることを確かめた。
  3. 行列式の双線型性を用いてクラメールの公式（2元の場合？　2次の場合？）を示した。

第7回 2015.04.25 (Sat)

• 前回の復習
  • クラメールの公式の導出を復習。行列式の成分計算ではなく、双線型性（と交代性）だけを使っていることに注意。
• ベクトル積の定義
  • 3次元空間内でベクトル積（外積）の幾何学的定義と成分による定義し両者が一致することを見た（ただし一部は来週の宿題に）。また、ベクトル積がなぜ3次元空間でしか定義されないのか？　ということに触れました。
• 映像数学の話（妖怪ウォッチetc.）

第8回 2015.05.02 (Sat)

• 3次行列式の符号付き平行六面体体積による定義
  • 図形的な定義をする際、不完全な論理が混じっていると思われるので、3次の行列式の性質の証明が不完全。
  • ただし、成分計算すればすべて完全に示される。
  • 頃合いを見計らって丁寧に述べ直したい。
• 行列の積のdeterminantはdeterminantの積（証明略）
  • 平行六面体を行列Aで移したとき、その体積比は|A|となることを見た。

第9回 2015.05.09 (Sat)

• 今回より第2章に入り、改めて0から行列の理論を学ぶことになる（なので、1章のことを忘れて2章からセミナーに新規参加することもできると思います）
• 行列の概念、相当、和の定義
  • スカラー倍、零行列、和に関する逆元と減法の導入
  • 和に関する結合律、交換律、スカラー倍に関する分配律と結合律、行列の1倍と0倍がそれぞれどうなるか（なお、ここまで行列の積についてはいっさい言及していないことに注意）。
• 次に初めて行列の積を導入（もちろんスカラー倍とは別の演算）し、
  • 行列の積が定義される条件を確認し、続いて結合律と分配律について見ました。
  • 乗法単位元としての単位行列の導入とその性質。
  • 積ABが定義されるとき、ABはAとBの各列ベクトルとの積を横に並べたものである。
• 最後に線形結合の定義をしました。

第10回 2015.05.16 (Sat)

• 複素共軛行列と転置行列の定義といくつかの性質を複素数の性質に基づいて確認しました。
• 行列の区分けについて。見てくれは複雑そうなΣ計算だけれど、何をやっているかがわかれば自然な計算に見えるはず、というsuggestionがありました。
• 発表者は初めての発表だったそうですが、頑張って発表準備してきてくださいました！　多謝！

第11回 2015.05.23 (Sat)

• 前回発表者が、区分けについて前回消化不良を起こしていた部分を、改めて整理して発表してくださいました。
• 区分けについて、いくつかの例題を取り上げました。
• 対角行列同士の積が、各々の対角成分の積をならべた対角行列となることを、区分け（と帰納法？）を用いて証明しました。
• 正方行列について
  • 行列に入る演算を一通り思い出し、n次正方行列全体が環構造を持つことを見ました（実数や有理数によく似ている？→では何が違っている？）。
  • 乗法逆元の存在は一般には言えないことが違っている。
• 最後に、区分けの帰納法による証明に関して、プログラミングの話題と関連させて「再帰的」、「帰納的」という概念がどう違うのか、数学においては同じ概念なのか？　など議論しました。

第12回 2015.05.30 (Sat)

• pp.42-43
  • 正方行列に対する対称区分けの定義から、2.5まで。この回は一貫して正方行列と対称区分けを用いた議論を行った。

第13回 2015.06.06 (Sat)

• pp.43-45
  • トレースの定義、行列の指数法則を扱った。
  • §3. 行列と線型写像には入り、C^nからC^mへの線型写像とm*n行列の対応について議論した（次回に続く）。

第14回 2015.06.20 (Sat)

• pp.45-46
  • C^nからC^mへの線型写像全体と、C-係数m*n行列全体が一対一対応することを示した。それぞれの「領域」の間の全単射を具体的に構成した。
  • 行列の積と対応する線型写像の結合法則とのつながりについて（cf. 斎藤正彦『線型代数学』東京図書）。

第15回 2015.06.27 (Sat)

• pp.45-48 3つの基本行列の定義、正則性と、左右からの基本変形について。
  • 行または列の交換は他の二つの基本変形の組み合わせであることを見た。

第16回 2015.07.04 (Sat)

• pp.48-49 4.1まで。
  • 3つの基本行列と左右からの基本変形。逆行列に関するの条件4.1の証明。

第17回 2015.07.11 (Sat)

• pp.50-52 Th.4.2から4.4まで。
  • 行列の（階数）標準形について。標準形の一意性より、行列に階数の概念が定義できる。そして、階数を用いた行列の正則性の条件のひとつを得た。

第18回 2015.07.25 (Sat)

• pp.53-55 §5. 1次方程式系の最初から5.1の証明まで。

第19回 2015.08.08 (Sat)

• pp.56 - 58、5.1の途中からTh.5.2まで。特にRem.2の内容に注意。
  • i.e. 1次方程式系の解の状態は実ベクトルで考えても複素ベクトルで考えても変わらない。1次方程式系の著しい特徴である。
• p.53 やり残していた基本変形を使った逆行列の求め方と正則性の判別（4.4を用いる）。

第20回 2015.08.15 (Sat)

• p.59 系5.3 - 系5.4とその逆まで。
  • 5.4の逆を示したことで行列の正則性の特徴づけを新たに一つ得た。

第21回 2015.08.22 (Sat)

• pp.59-60 系5.4の直後から定理5.2の証明の途中まで。
  • 1次方程式系が斉次の場合、いくつかの解が得られたときにその任意の線型結合も解であることを見た。
  • 次回は定理5.5を改めて証明するところから。
  • 前回までは非斉次の1次方程式系を扱っていたが、今回から5.8までは斉次の場合を扱う。そのもとで非斉次の場合と斉次の場合の関係を5.9で見る。

第22回 2015-8-29 (Sat)

• pp.59-60 定理5.5の途中、「特別な自明でない解」が線型従属でない（つまり線型独立）であることから5.8まで。
  • 系5.6は一般のベクトル空間の次元の定義をする際に用いられる。そこで少し先取りしてベクトル空間の基底の概念を紹介した。「ベクトル空間の基底の個数が一意的に定まる」ということを示す時に、系5.6が本質的に用いられていることを眺めた（p.103の3.8）。
  • 今日は斉次方程式系を扱った。次回非斉次の場合と斉次の場合の関係を5.9で扱う。

第23回 2015-09-05 (Sat)

• WhiteboardFoxが落ちていたのでidrooで代用。
• 1次方程式系について、斉次の場合と非斉次の場合の関係について見た。

第24回 2015-09-12 (Sat)

• 今週から行列式の章に入る。置換の概念を導入し、いくつかの性質について見た。

第25回 2015-09-19 (Sat)

• 実験的にペイントソフトとjoin.meの組み合わせでセミナーをしてみた（あまり評判は良くない模様）。
• 前回の続き。任意の置換が互換の組み合わせ（積）で表されることを示した。

第26回 2015-09-26 (Sat)

• メモ：任意の互換を隣接互換の積で表したとき、隣接互換の個数は奇数になる？（正しい「はず」）

第27回 2015-10-17 (Sat)

• 行列式のチャプターの§1. 置換をあらかた片付けました（まだ少し残っているので来週やります）
• 来週から行列式の§に入りたいと思います。

第28回 2015-10-24 (Sat)

• まだ少し残っていた置換の章の問いですが、一つだけ先送りする形になりました（ごめんなさい）
• 行列式の§に入りました。行列式を純粋に多項式として定義し、その後に行列に対する行列式を定義し直しました。
• 行列に対する行列式の直感的なイメージについて話しました。それによりサラスの方法が3次以下の場合でしか使えないことが直観的に理解できたかと思います。
• 引き続き発表者募集中です。

第29回 2015-10-31 (Sat)

• 適当なタイミングでおさらいの回を設けようと思います。
• 引き続き発表者募集中です。

第30回 2015-11-07 (Sat)

第31回 2015-12-05 (Sat)

第32回 2016-1-16 (Sat)

第33回 2016-1-30 (Sat)

第34回 2016-02-06 (Sat)

第35回 2016-02-13 (Sat)

第36回 2016-02-20 (Sat)

• 定理[2.10]の証明をしました。次の行列式の余因子展開のセクションは先に終わらせているので、今日でようやく第3章が終わりです。長い間ありがとうございましたm(_ _)m
• 次週から2週くらいで今までのおさらいをします（予定）。

→予定変更しました。第37〜40回あたりにかけて、線型代数総論として線型空間の話から始めて線型代数というものを鳥瞰するようなセミナーを行っています。それが終わりましたら今までの（36回までの）おさらいを簡単にやってみようと思います。新規の方や途中でリタイアしてしまったけれど再チャレンジしたいというか方など、どなたでも歓迎いたします。また今後の展望についても皆さんと話をしたいと思っています。よろしくお願いします。

第37回 2016-02-27 (Sat)

• 線形代数総論第1回として、
  • ベクトル空間の概念
    • 部分空間
    • 商空間
    • 線形写像と準同型定理
  • ベクトル空間の基底の概念
    • 1次独立性
    • 生成される（張られる）部分空間
    • 有限生成ベクトル空間の次元の定義

について概説を行いました。

• 次週は1次方程式系と係数行列のランクの概念の関係などについて扱う予定です。

第38回 2016-03-05 (Sat)

• 線形代数総論第2回を行いました。
  • 線型写像のランクと次元公式
  • 連立1次方程式系と係数行列のランクの関係
  • 線型写像の表現行列と基底の変換行列

について概説を行ったようです
（事情により主催者途中離脱のためホワイトボードを見ての想像です）。

第39回 2016-03-12 (Sat)

• 線形代数総論第3回を行いました。

第40回 2016-04-02 (Sat)

• 線形代数総論第4回（総論最終回）を行いました。

第41回 2016-05-14 (Sat)

• 平井本で再スタートしました！（本についてはこのページのトップに情報を載せております）
• 群の定義とその同値な条件について扱いました（定理1.1）。主催者には見慣れない群の定義の仕方でしたが、見慣れた群の定義と同値であることを示しました。
  • なおこの本における群の公理(ii)に現れるuniquenessは、条件から外しても恐らく同値です（できれば来週きちんと確かめたいのですが、主催者欠席の可能性大です）。

第42回 2016-05-21 (Sat)

• 集合と写像についての基本的なことを扱いました。群の二項演算が写像であるということを確認した以外は、本日は群論や線形代数の話は扱っていません。

第43回 2016-05-28 (Sat)

• 写像の像と逆像、全射と単射について扱いました。今回も群論や線形代数の話題は扱っておりません。

第44回 2016-06-04 (Sat)

• 前回の内容を簡単におさらいしたのち、幾つかの群の例について扱いました。
  • 次回、群の公理に含まれる結合律について扱う予定です。

第45回 2016-07-09 (Sat)

• 2つの元からなる群（位数2の群）について、乗法表とともに扱いました。
• 群の結合法則、簡約法則について扱いました。

参考書

　線型代数の本は山ほどありますがセミナーメンバーからの推薦があったものなど。

• 齋藤正彦『線型代数学』東京図書
  • 最近出版された同著者による線型代数の教科書。著述は東大出版のものと似ていますが、行列と行列式だけあればできる議論を先にやってしまい、その後で線型空間を導入する構成となっています。説明は東大出版のものよりわかりやすいかもしれませんので、このセミナーの参考書には適しているかもしれません。

• 高橋礼司『線型代数講義 - 現代数学への誘い』日本評論社
  • 非常にわかりやすく書かれている印象です。チャプターが細かくわかれていて、理論の構成は見にくいかもしれませんが、論理展開が明快です。わりと分厚いですが、第3部以降は線型代数の応用について述べられているようなので、『東大斎藤』に対応する部分は見た目より少ないように（かつ、わりと十分に述べられてるように）思います。

• 長谷川浩司『線型代数[改訂版]』日本評論社
  • いろんなことが書いてあります。

• 二木昭人『基礎講義　線形代数学』培風館

• 斎藤毅『線形代数の世界―抽象数学の入り口』東京大学出版

• 雪江明彦『線形代数学概説』培風館

• 柴岡泰光『線形空間』裳華房
  • わかりやすそうです。新刊書店で入手できると思われます。

• 中岡稔・服部晶夫『線型代数入門』紀伊國屋書店
  • わかりやすそうです。新刊書店で入手できると思われます。

• 金谷健一『幾何学と代数系』森北出版
  • 第1〜8回までの内容が、この本の前半にわかりやすく書かれているようです。この本をテキストにしたセミナー始めるかも？

• Leon Simon, An Introduction to Multivariable Mathematics, Morgan & Claypool Publishers
  • 以前きみどりが一通り読んだ本です。多変数の微分学とそれに必要な線型代数がコンパクトに書かれています。