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幻想境界「醉生夢死」 - 兔 @ ウィキ
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娘娘HW1

4.\verb| |y = \frac{ln(x)}{2+ln(x)}

\frac{dy}{dx} = \frac{(2+ln(x))\frac{d}{dx}ln(x) - ln(x)\frac{d}{dx}(2+ln(x))}{(2 + ln(x))^{2}}

= \frac{(2+ln(x))\frac{1}{x} - ln(x)\frac{1}{x}}{(2+ln(x))^{2}}

= \frac{2}{x(2+ln(x))^{2}}


5.\verb| | ln(x^{2} + y^{2}) = x + y

\verb|Set g(x) | = ln(x^{2} + y^{2}) = x + y

\frac{dg(x)}{dx} = \frac{2x + 2y\frac{dy}{dx}}{x^{2} + y^{2}} = 1 + \frac{dy}{dx}

\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+y^{2}-2x}{2y - x^{2} - y^{2}}

\verb|An alternative approach:|

\verb|Set g(x)| = x^{2} + y^{2} = e^{x+y}

\frac{dg}{dx} = 2x + 2y\frac{dy}{dx} = e^{x+y}(1+\frac{dy}{dx})

\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x+y}-2x}{2y - e^{x+y}}



6.\verb| | y = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}

\frac{dy}{dx} = \frac{(e^{x} + e^{-x})\frac{d}{dx}(e^{x} - e^{-x}) - (e^{x} - e^{-x})\frac{d}{dx}(e^{x} + e^{-x})}{(e^{x} + e^{-x})^{2}}


= \frac{(e^{x} + e^{-x})^{2} - (e^{x} - e^{-x})^{2}}{(e^{x} + e^{-x})^{2}}

= \frac{4e^{x}e^{-x}}{(e^{x} + e^{-x})^{2}}

= \frac{4}{(e^{x} + e^{-x})^{2}}


7.\verb| | y = x^{ln(x)}

ln(y) = (ln(x))^{2}
y = e^{(ln(x))^{2}}

\frac{dy}{dx} = e^{(ln(x))^{2}}\frac{d}{dx}(ln(x)^{2})

= e^{(ln(x))^{2}}\frac{(2ln(x))}{x}

= \frac{2ln(x)e^{(ln(x))^{2}}}{x}


\verb|Appendix A: derivative of ln(x)|

y=ln(x)
x=e^{y}
\frac{dx}{dy} = e^{y} = x
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}

\verb|derivative of ln(f(x))|

y=ln(f)
\frac{dy}{dx} = \frac{dln(f)}{df}\frac{df}{dx} = \frac{f'}{f}\verb|by chain rule|
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最終更新：2010年07月21日 03:58