基底をとる - iPhoneアプリ作成のために

K線形空間Vの基底{v1,...,vn}があるとすれば

線形空間K^nの基底{e1,...en}からの同型写像

f(ei)=vi

によってVとK^nは同型になる。fを基底をとることによって定まる同型写像と呼ぶ。

行列表示

n1次元線形空V1,n2次元線形空V2があったとして、その間の線形写像

g:V1→V2

をそれぞれの線形空間の基底をとることによって、すなわち

f1:K^n1 →　V1

f2:K^n2 →　V2

よりf2^-1○g○f1を考える。V1の基底をv,V2の基底をwをとれば

f2^-1○g○f1(ei) = f2^-1○g○vi = f2^-1○g(vi) = Σ_j f2^-1○gijwj = Σ_j g_ij f2^-1(wj) =Σ_j g_ij e_j

となる。この行列を写像gの行列表示という。