線形空間Vと双対空間V*の関係 - iPhoneアプリ作成のために

命題1.2.19

(1)dimV = dimV*

(2) 二重双対空間V**はVと同一視される。（それらの間に自然にさだまる同型写像がある。)

（１）の証明

Vの基底　{|v1>,...,|vn>}より

<vi*|vj>=δijとなるようにn個のV＊の元{<v1*|,...<vn*|}を持ってくる。

これが一次独立であることを示す。

<f*| = a1<v1*| + ... + an<vn*| = 0とすると

<f*|vi> = ai = 0 などによりa1 = .. = an = 0がわかるので、一次独立である。

V＊の元を任意にもってきて

<f*| = Σ_i<f*|vi><vi*|

となるので、<vi*|達は生成系となっているので、一次独立かつ生成系より基底となっている。

以上からdimV=dimV*

(2) 考え中

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