結びと交わりの次元の関係 - iPhoneアプリ作成のために

K線形空間VのK線形部分空間W１、W２に対して

$$dim_K(W1\cap W2) + dim_K(W1+W2)=dim_KW1+dim_KW2$$

これは、W１∩W２の基底を{|u1>,..,|ul>}とすればW１の基底を
{|u1>,...,|uL>,|v1>....|vm>}

のように書く事ができる。どうようにW２の基底を

{|u1>,...,|uL>,|w1>....|wm>}

と書く事ができる。これよりW1+W2の基底を

{|u1>,...,|uL>,|v1>....|vm>,|w1>....|wm>}

と書く事ができる。

以上から次元を計算すると先ほどの式が出てくる。

系

$$dim_kW1 + dim_K W2 > dim_K V$$

の時、

$$dim_K(W1\cap W2) + dim_K(W1+W2) > dim_K V$$

ここでW1+W2で作られるベクトルはVに入るので

$$dim_K V - dim_K(W1+W2) > 0$$

よって

$$dim_K(W1\cap W2) > 0$$

横断的に交わる(intersect transversally)とは

$$W1\cap W2 = {0}$$
$$W1 + W2 = V$$
となる場合、これらは横断的に交わるという。