対称双１次形式(symmetric bilinear form) - iPhoneアプリ作成のために

B:V×V→Kが以下を満たす時、対称双一次形式と呼ぶ。

B(|u>+|u'>,|v>) = B(|u>, |v>) + B(|u'>,|v>)
B(a|u>,|v>) = a B(|u>,|v>)
B(u,v) = B(v,u)

2次形式から

B(|u>,|v>) = 1/2(Q(|u>+|v>) - Q(|u>) - Q(|v>))

また逆に

Q(|v>) = B(|v>,|v>)

が成り立つ。

B(|u>,|v>)　= 1/2(Q(|u>+|v>) - Q(|u>) - Q(|v>))
　＝ 1/2(Σa<vi|u><vj|v>+Σa<vi|v><vj|u>) )
　＝Σa<vi|u><vj|v>

対称双一次形式に付随するK線形写像(associated K-linear map)

h:V→V*

<h(|u>)|v> = B(u,v)

<h(|vi>)|vj> = B(vi,vj) = aij

<h(|vi>) | = aij <vj|

座標系の変換

n次元線形空間Vの二つの座標系の基底{|v>},{|w>}によって二次形式Qは

Q = Σaij<vi|<vj| = Σbij<wi|<wj|

座標系の変換　<wi| = Σcij <vj| より

Q = Σbij cik cjl <vk|<vl|

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よって座標変換の公式　A=C^t B C を得る。