二次形式のまとめ - iPhoneアプリ作成のために

前回とは少し記法を変えることにした。

線形空間Vとその双対空間V＊の元を基底で展開したものを

|v> = ai|vi>

<v*| = ai*<vi*|

と書く。

<vi*|vj> = δijとする。

二次形式Q:V→Kは

<Q| = aij<vi*|<vj*|

<Q|v> = aij<vi*|v><vj*|v>

と書く。

対称双１次形式B:V×V→Kを

<B|vi,vj> = aij

で定義する。

Bに付随するK線形写像h:V→V*を

<B|u,v>=<h(u)|v>

で定義する。

よって

<h(vi)|vj> = aijより

<h(vi)| = aij<vj*|

Qとhを用いて双対空間V*上の非退化二次形式Q*が

<Q|u> = <h(u)|Q*>

と誘導される。

同様に

<u*|Q*> = <Q|h*(u*)>

Bについても

<B|u,v> = <h(u),h(v)|B*>

<u*,v*|B*> = <B|h*(u*),h*(v*)>

<vi*,vj*|B> = aij*

とすれば

<vi*,vj*|B> = <vi*|h*(vj*)> = aij*

|h*(vj*)> = aij*|vi>