2. 飲んべえ族に耳寄りな話

$m$ と $\bar{x}$

正規分布する母集団のんぷの中心を示す母集団 $m$ 、および分布のひろがりを示す母標準偏差 $\sigma$ は、通常は直接知ることができない。
→母集団から抽出した資料から求めた資料平均 $\bar{x}$ を $m$ の推定値。資料の標準偏差 $s$ を $\sigma$ の推定値とする。
→ $\bar{x}$ と $s$ の精度はどのくらいか？

(検討ポイント)
平均値 $m$ 、標準偏差 $\sigma$ の正規分布する母集団から、資料 $x$ を $n$ こ抽出して求めた $x$ の平均値 $\bar{x}$ の分布は？またその分布から何がわかるか？

ノーマルチップス

シューハートのノーマル・チップス(表27)をグラフ化すると以下のような正規分布になる。

図1．シューハートのノーマル・チップス。総枚数998枚。
平均値30、標準偏差10の正規分布。

この中から無作為にチップを抜き出す行為は、 $m$ が30、 $\sigma$ が1の正規分布する母集団から試料を抽出することに値する。このときの $\bar{x}$ の分布はどのようになるか？

シミュレーション

よくかきまぜた998枚のチップから無作為に1枚を抽出し、再び箱の中に戻し、さらによくかきまぜて1枚を取り出す行為を5回繰り返す。取り出した5枚を1組として試料平均値 $\bar{x}$ を記録する(正規母集団から無作為に5個の試料をサンプリングして試料平均値を算出)。
→この操作100組のデータが表29(p.74)である。
　　　　平均値 $\bar{x}$ の平均値=29.70
　　　　平均値 $\bar{x}$ の標準偏差=4.65

$\bar{x}$ の分布

表29のデータの度数分布図(図30)からわかること。

母集団の平均値30日回試料平均値の頻度が多い。しかし、少数ながら、18や40のように離れた数値も存在する。
$\bar{x}$ =29.7で $m$ =30に近い。→試料平均値が母集団の平均値の良い推定値になる。
$\bar{x}$ の分布の標準偏差→不偏分散 $s^2$ より求める。 $s$ =4.65となり、母集団の標準偏差10よりも小さい(重要！)

推定の制度と $\bar{x}$ の標準偏差

試料平均値の分布の標準偏差とは何を意味するのか？→試料平均値から母集団平均値を推定する精度。
「母平均値 $m$ 、母標準偏差 $\sigma$ の正規分布する母集団からn個の試料を抽出して試料平均値 $\bar{x}$ を求めると、 $\bar{x}$ は平均値 $m$ で標準偏差が $\sigma/\sqrt{n}$ の正規分布となる。」

図2．正規母集団分布→試料平均値の分布→t分布への変換
(佐藤信「推計学のすすめ」p.78)

→ $n$ が大きくなればなるほど、 $\bar{x}$ の精度はよくなる(図2の(ロ))。しかし、図32(p.79)に示すように、 $n&gt;$ 30になると、制度の向上は小さくなる。(サンプル数の目安になる？)

$t$ 分布を導く

母平均値 $m$ 、母標準偏差 $\sigma$ は、一般的には不明である。→試料平均値 $\bar{x}$ および試料平均値の標準偏差 $s$ から母集団が推定できるか？

以下の操作を行う。

試料平均値と母平均値との差
$\bar{x}-\mu$
この差を $\bar{x}$ の標準偏差の単位ではかると考えると、

　　 $\bar{x}-\mu$
―――――――――――
　 $\bar{x}$ の標準偏差

ただし、 $\bar{x}$ の標準偏差は $\sigma/\sqrt{n}$ であるが、 $\sigma$ も未知であるため、 $s$ で代用する。

$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

この式は、図31(ハ)に示すように、 $\bar{x}$ の分布を平均値0、標準偏差1の分布に基準化したことに相当する。→ $t$ 分布(p.56,58の図20,21に示した正規分布の基準化の手続きと比較せよ。 $t$ 分布と正規分布の相違点は $\sigma$ の代わりにその推定値 $s$ を用いている点である)。

$t$ 分布表(p.82)

図33 $t$ 分布表自由度(n-1)
(佐藤信「推計学のすすめ」p.82)

$t$ 分布表… $t$ 分布の中心0から $t$ 以上はなれた値が出現する確率を分布の面積で表したもの。例えば、自由度3のとき、両裾の斜線部分をあわせた面積が5％となる $t$ の絶対値は、 $t$ =3.18となる。

$t$ 分布は、母集団から試料を抽出する数 $n$ によって、分布の形が変形する。→標準偏差が1/ $\sqrt{n}$ の割合で変化するため。

$t$ 分布による検定

p.85では、2杯の試料から「バー・エックスのシングル1杯は30mLである」という仮説が棄却できるか？を問題としている。

$n$ =2の場合バー・エックスのシングル1杯が30mLであるとはいえないという結論に達した(仮説は捨てられない)が、 $n$ の数を増やすと $\bar{x}$ の精度が増すため、仮説を捨てられる可能性がある。このように、一度仮説が捨てられない結果が得られ、実験制度に不備の可能性があると考えられる場合は、実験計画の見直し、試料を増やすなどの再実験が必要である。

自由度(Degree-of-freedom)の定義

一般に、変数のうち独立に選べるものの数、すなわち全変数の数から、それら相互間に成り立つ関係式(束縛条件、拘束条件)の数を引いたもの。自由度1といった具合に表現する。

自由度は、力学・機構学・統計学などで使用され、意味は上記の定義に順ずるが、それぞれの具体的に示唆する処は異なる。

統計学では、各種の統計量に関して自由度が定義される。大きさ $n$ の標本における観測データ $(x_1, x_2, ... , x_n)$ の自由度は $n$ とする。それらから求めた標本平均についても同様である。

不偏分散 $s^2=\frac{\sum_{i=1}^n(\bar{x}-x_i)^2}{n-1}$ については、 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$ という関係式(ここで $\bar{x}$ は母集団平均 $\mu$ の推定量である)があるから、自由度は1少ない $n$ -1となる。そのため分母には $n$ -1を用いる。

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最終更新：2008年08月19日 12:52

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