数の分類ー旅の始まり - 小西研究室@電脳工房ＭＳＣ

第１回(９/27)

数の分類

自然数(Natural Number)＝1,2,3,4,5,・・・
整数(Integer、Zahlen)＝自然数（1,2,3,4,5,・・・）+0+負の整数（-1,-2,-3,-4,-5,・・・）
有理数(Rational Number)＝分数の形で表現できる数＝整数/自然数の形で書ける数
無理数(Irrational Number)＝有理数ではない数

普段我々が使用している数は、上の４つに分類することができる。
有理数は、比（ratio）をもつ数である。古代ギリシャの時代から存在した。
ギリシャ数学の３つの難問があった。またいずれ話をしよう。

数直線

実数は１つの直線上の点と1対1に対応付けができる。

　　O：原点、E：単位点　として数直線を考える。

有理数は数直線上に「稠密に」存在する。

　　有理数は分数で表現できる数のこと。
　　ゆえに、分数+分数は分母を通分すれば分数になるので、２つの有理数の中点は有理数になる。
　　ゆえに、２つの有理数の間には、どんなに差が小さくても有理数を作ることができる⇒「有理数の稠密性」

無理数は有理数でいくらでもよく近似できる。

　　あとで述べます。

循環小数

ある桁以降の数字が繰り返し出現する無限小数を循環小数という。

　整数でない有理数を小数の形に表すと、
　　 $\frac{13}{8}=1.625$
のような無限小数となるか、または
　　 $-\frac{4}{3}=-1.\textbf{3}3333\dots$
　　 $\frac{1}{7}=0.\textbf{142857}142857142857\dots$
　　 $\frac{9}{74}=0.1\textbf{216}216216\dots$
のように循環小数になる。
　循環小数は、循環する部分の最初の数字と最後の数字の上に点を打って表す。
　　 $-1.\textbf{3}3333\dots=-1.\dot{3}$
　　 $0.\textbf{142857}142857142857\dots=0.\dot{1}4285\dot{7}$
　　 $0.1\textbf{216}216216\dots=0.1\dot{2}1\dot{6}$
数字の循環する部分を「循環節」という。

無理数を小数で表すと循環しない無限小数になる。

循環小数は有理数である

　循環する部分をその長さ分だけの１０のべき乗をして差し引くと、循環部分がうまく消えて分数で得られる。

「数の分類ー旅の始まり」をウィキ内検索

最終更新：2010年10月18日 12:32