ルート２は無理数である - 小西研究室@電脳工房ＭＳＣ

ルート２は無理数であることの証明

まず、次の事実がある。

$n$ が奇数であれば、 $n^2$ も奇数である。

これは、ｎが奇数だから、 $n=2k+1$ と書けるので、
$n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$
より、 $n^2$ は奇数になる。　　　　　■

$n^2$ が偶数であれば、 $n$ は偶数である。

結論を否定し、 $n$ は奇数であるとすると、前の補題により、 $n^2$ は奇数であることになり矛盾する。
ゆえに、 $n$ 　は偶数である。　　　　■

上の証明のように、結論を否定して矛盾を導く証明方法を「背理法」という。

いま、 $\sqrt{2}$ は有理数であるとして、２つの正の整数 $m,n(n&gt;0)$ に対して、 $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ と書けたとする。
さらに、この $m,n$ は共通な約数を持たないようにできる。（あれば、割りきっておく）

両辺を2乗して、両辺に $n^2$ を掛けると、
　　 $2n^2=m^2$
を得る。左辺は偶数であるので、 $m^2$ は偶数になり、上の議論から、 $m$ は偶数である。ゆえに、
　　 $m=2k$
とかける。これを上式に代入して、
　　 $n^2=2k^2$
を得て、 $n^2$ が偶数であることになり、 $n$ は偶数になる。これは、2つの整数 $m,n$ が共通な約数２を持つことになり、仮定に反する。これは、有理数であることを仮定したことから生じている矛盾なので、 $\sqrt{2}$ は無理数である。　■

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最終更新：2010年11月02日 18:53