統計的な考え方の基礎～確率と確率分布②

2.5　準備その３：余事象・和事象・積事象・排反事象

全事象 $\Omega$ （オメガ）＝起こりうるすべての結果の集合
空事象 $\phi$ （ファイ）＝決して起こらない事象
余事象＝事象 $E$ に対して、 $E$ が起こらない事象
事象 $E$ が起こる確率（probability）を $Pr(E)$ とかく。

　　 $E$ ={サイコロの目が偶数｝　のとき、 $E$ の余事象 $\bar{E}$ ={サイコロの目が奇数}
　　　　 $Pr(\Omega)=1(=100\%)$
　　　　 $Pr(\phi)=0(=0\%)$
　　　　 $Pr(E)+Pr(\bar{E})=1(=100\%)$

和事象 $E\cup F$ 　　 $E$ か $F$ の少なくとも一方が起こる
積事象 $E\cap F$ 　　 $E$ と $F$ の両方が起こる

　　　 $E$ と $F$ は排反（disjoint）である　 $\Longleftrightarrow$ 　 $E\cap F=\phi$ のとき

2.6　相互排反性と加法定理

加法定理

　　事象 $E_1$ 、 $E_2$ に対して
　　　　 $Pr(E_1 \cup E_2)=Pr(E_1)+Pr(E_2)-Pr(E_1 \cap E_2)$

例　サイコロを１個ふり、出た目を調べる

$E_1$ ={３以下の目}={１，２，３}のとき
　　　 $Pr(E_1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$E_2$ ={偶数の目}={２，４，６}のとき
　　　 $Pr(E_2)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$E_1\cup E_2=\{1,2,3,4,6\}$
　　　 $Pr(E_1\cup E_2)=\frac{5}{6}$
$E_1\cap E_2=\{2\}$
　　　 $Pr(E_1\cap E_2)=\frac{1}{6}$
以上により、
　　　 $Pr(E_1 \cup E_2)=Pr(E_1)+Pr(E_2)-Pr(E_1 \cap E_2)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$