確率分布の期待値と分散

2.9　大数の法則

　実験回数を増やして、ある事象の起こる割合を測定すると、回数を増やせば増やすほど「一定値」に近づく。
　（ベルヌーイの大数の法則）

この法則により、先験的確率＝実験的確率、と考えられる。

2.10　確率変数・期待値・分散の感覚的把握

確率変数＝その取りうる値に対して、確率が対応している変数のこと
たとえば、宝くじの例で言えば、賞金金額が確率変数である。
各賞金金額とその確率をかけて合計したものが、「期待金額（期待値）」という。

例.宝くじ

次の表のような当たり本数の宝くじを100本販売する。

等級	当選金額	当選本数
1等	100000円	1本
2等	10000円	3本
3等	1000円	6本

この場合、賞金総額は、100000円×1本+10000円×3本+1000円×6本＝136000円　であり、
宝くじ1本あたりの金額は、
　　136000円÷100本＝1360円
になる。
この宝くじを販売するとき、1360円以上で販売しないと利益は出ない。
この金額が、宝くじの期待金額になる。

上の期待金額は、次のようにも書ける：
（100000円×1本+10000円×3本+1000円×6本）/100本
　＝100000円×（1/100）+10000円×（3/100）+1000円×（6/100）＝（当選金額）×（当選確率）の総和

すなわち、当選金額と当選確率を掛けて合計したものが期待金額であり、これが期待値(expectation)である。

例１．さいころを１回振るときに期待できる目の数（同じ確率のとき）

目の数	確率
1	$\frac{1}{6}$
2	$\frac{1}{6}$
3	$\frac{1}{6}$
4	$\frac{1}{6}$
5	$\frac{1}{6}$
6	$\frac{1}{6}$

このときの期待値 $E$ は
　　 $E=1×(\frac{1}{6})+2×(\frac{1}{6})+3×(\frac{1}{6})+4×(\frac{1}{6})+5×(\frac{1}{6})+6×(\frac{1}{6})=\frac{21}{6}=3.5$

例２．さいころを１回振るときに期待できる目の数（違う確率のとき）

目の数	確率
1	$\frac{1}{24}$
2	$\frac{1}{24}$
3	$\frac{1}{24}$
4	$\frac{1}{24}$
5	$\frac{1}{3}$
6	$\frac{1}{2}$

このときの期待値 $E$ は
　　 $E=1×(\frac{1}{24})+2×(\frac{1}{24})+3×(\frac{1}{24})+4×(\frac{1}{24})+5×(\frac{1}{3})+6×(\frac{1}{2})=\frac{10}{24}+\frac{5}{3}+3=5.08$
したがって、このサイコロでは５と６の目が出やすいことが分かる。

解説

期待値Eは,平均＝全体のバランスをとる位置、を与えている。このため、確率分布の期待値を「確率分布の平均」という。
平均値からのばらつきを表す指標が「分散」である。

　分散V(variance)は、各値から平均を引き、2乗した量に、対応する確率を掛けて加えて求める。
　分散の平方根を取ったものが「標準偏差SD(standard deviation)」である。

例３．さいころを１回振るときに期待できる目の数（同じ確率のとき）

上の例１の場合の確率分布表から $E=3.5$ であるので、下の表ができる。

目の数 $x$	確率 $P$	$x-E$	$(x-E)^2$	$(x-E)^2 \times P$
1	$\frac{1}{6}$	-2.5	6.25	1.042
2	$\frac{1}{6}$	-1.5	2.25	0.375
3	$\frac{1}{6}$	-0.5	0.25	0.042
4	$\frac{1}{6}$	0.5	0.25	0.042
5	$\frac{1}{6}$	1.5	2.25	0.375
6	$\frac{1}{6}$	2.5	6.25	1.042
合計	1			2.918