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中心傾向の続き

平均値と中央値について
○平均値＝全体のバランスを取る位置
○中央値＝小さい順に並べたときに中央にくる値
　定義から、データ分布が、左右対称のときには平均値は有効であるが、偏りがあると中央値が有効。

例題

ある会社の従業員の給与は次の通りであった（単位：万円）。平均値と中央値を求めよ。
　　１５，１５、１５、１７、２０、２５、２５、３０、５０、８０
（解答）
　平均給与は29.2万円、中央値は22.5万円。
　平均給与を超えるのは１０人中３人であり、代表値としては適当ではない、と思われる。 
最頻値（mode）
  • 最頻値（mode、モード）＝度数最大のデータ。度数分布表の場合は、階級の中央の値。
　　p.39の表なら、「15-19」の度数が26で、度数最大だから、mode=\frac{15+19}{2} =17　となる。

度数分布表の場合、「20以上30未満」という階級であれば、
　　　データが整数値ということで、小数第1位まで考慮し、
　　　　　20＝19.5以上20.5未満
　　　なので、「20以上30未満」＝「20以上29以下」として
　　　最頻値は、（20+29）/2＝24.5　とする。

4.3　ばらつき（Variability）

  • 「ばらつき」とは、中心傾向からのばらついている度合いを示す量である。

4.3.1　範囲（Range：レンジ）R

　　R＝（最大値）-（最小値）　　

4.3.2　四分位範囲（Inter-Quartile Range） IQR

　　Q_1＝第1四分位数＝下から四分の一 を示す点（位置）
　　Q_3＝第3四分位数＝上から四分の一　を示す点（位置）
　とするとき、
　　四分位範囲　IQR=Q_3-Q_1
　　　全体の50％が中央を占める長さをいう。

4.3.3　四分位偏差　SIQR

　　四分位偏差　SIQR=\frac{IQR}{2}=\frac{Q_3 -Q_1}{2}
以下、離散データを考える。n個のデータを、x_1,x_2,\dots,x_nとする。このとき、平均値\bar{x}は
　　\bar{x}=\frac{x_1 +x_2 +\dots+ x_n}{n}
で求められる。

4.3.4　平均偏差　MD

　MD＝各データと平均までの長さ　の平均
　　MD=\frac{\mid x_1 - \bar{x} \mid+ \mid x_2 - \bar{x}\mid+\dots+\mid x_n - \bar{x}\mid}{n}

4.3.5　分散（variance）　V

　標本分散　V＝各データと平均までの長さ　の２乗　の平均
　　V=\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2+\dots+(x_n - \bar{x})^2}{n}
　不偏分散　U＝Vの標本からの推定値　（Vより少し大きい）
　　U=\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2+\dots+(x_n - \bar{x})^2}{n-1}
　　　　Rでは、var() を用いる。

4.3.6　標準偏差（Standard Deviation）　SD

　標本標準偏差　SD＝Vの平方根
　　SD=\sqrt{V}
　不偏標準偏差　sd＝Uの平方根
　　sd=\sqrt{U}
　　　　Rでは、sd()　を用いる。
　一般に「不偏・・・」は、標本から母集団の統計量を推定した値になる。

4.3.7　標準誤差　SE　と変動係数　CV

　　標準誤差　SE
　　　SE=\frac{sd}{\sqrt{n}}

　　変動係数　CV　＝平均値の異なるものの標準偏差を比較する場合に用いる
　　　　　　　　　　　　　　（バラつきが大きいほうがCVは大きい）
　　　CV=\frac{SD}{\bar{x}}\times 100

問題

ある実験の測定値は次のとおり。各統計量を求めよ。
　2.5、3.6、1.8、2.5、2.6、3.0、4.1、2.8
(1)平均
(2)中央値
(3)最頻値
(4)範囲
(5)四分位点
(6)四分位範囲
(7)四分位偏差
(8)標本分散
(9)標本標準偏差
(10)不偏分散
(11)不偏標準偏差
(12)標準誤差
(13)変動係数
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最終更新：2011年06月06日 14:00