６．正の数から負の数を作る（補数表現）
これまでに説明したように、
●掛け算は足し算でできる。（３×５、は、３を5回加えればできる）
●割り算は引き算でできる。（３５÷８、であれば、35-8＝27、27-8＝19、19-8＝11、11-8＝3、と4回8を引けば3が余る）
さらに、A-B＝A+(-B)と書けることから、
●引き算は、正の数Bから（-B)を作り、Aに加えれば、できる。
以上のことから、足し算の回路と、負の数の作り方が分かれば、計算機の
計算の仕組みは理解できたことになる。
補数表現について
以後、8ビット整数を考えよう。8ビット整数とは、8桁の2進数のことである。
⇒符号ビットが「０」なら０または正の数、「１」なら負の数とする。
上の制約のもとで、8ビット整数を10進整数に対応付けてみる。
2進数の加法法則（０+０＝０、０+１＝１、１+０＝１、１+１＝１０）という法則の下で、対応を付けると
００００００００ ⇔ 「０」
０００００００１ ⇔ 「１」
００００００１０ ⇔ 「２」
００００００１１ ⇔ 「３」
・・・
０１１１１１１１ ⇔ 「１２７」
となる。
2進数の加算法則に従うと
１１１１１１１１ ⇔ Ｘ
＋ １ ⇔ 「１」
―――――――――――
１００００００００
となるが、今は考えている数字の桁が8桁なので、9桁目を考えられないので「無視」する。
すると、１００００００００＝００００００００＝「０」 となり、
Ｘ＋１＝０
となる負の数（先頭のビットが「１」だから）だから、 「Ｘ＝－１」が得られる。すなわち、
これに従うと、
１１１１１１１１ ⇔ 「－１」
＋１１１１１１１１ ⇔ 「－１」
―――――――――――
１１１１１１１１０
同様に9桁目を無視して、「１１１１１１１０」＝「－２」が分かる。
では、「１０００００００」は何か？
このパターンの０と１を逆転させると、「０１１１１１１１」で、これは正の数「１２７」である。当然ながら、
１０００００００ ⇔ 「Ｘ」
＋０１１１１１１１ ⇔ 「１２７」
―――――――――――
１１１１１１１１＝「－１」
だから、Ｘ＋１２７＝－１、であり、Ｘ＝－１２８、がわかる。
まとめよう。
8ビット整数は、
０１１１１１１１ ＝ 「１２７」
０００００００１ ＝ 「１」
００００００００ ＝ 「０」
１１１１１１１１ ＝ 「－１」
１１１１１１１０ ＝ 「－２」
１０００００００ ＝ 「－１２８」
というように、－１２８～１２７までの256個の数字を8桁のビットで表現する。
例題１.次の10進整数を8ビット整数で表現しなさい。
（１）. 86 （２）. －119
(解）
(1). ８６÷１６＝５...６ 、 ５÷１６＝０...５ であるので、８６(10)＝５６(16)。これを2進数に直して
「０１０１０１１０」
(2). １１９÷１６＝７...７、 ７÷１６＝０...７ であるので、１１９(10)＝７７(16)。これを2進数に直して
「０１１１０１１１」
この０と１を逆転させると、「１０００１０００」を得る。これと、上の「０１１１０１１１」を加えると「１１１１１１１１」となるので、
１１９＋「１０００１０００」＝－１． よって、「１０００１０００」＝－１２０
ゆえに、－１１９＝「１０００１０００」＋１＝「１０００１００１」がわかる。
例題２.次の8ビット整数を10進整数に直せ。
（１）. ０１０１０１０１ （２）. １１００１１００
(解）
(1). 小さいほうから位取りして、１＋４＋１６＋６４＝８５．
(2). ０と１を逆転した数を考える： 「００１１００１１」
これは、小さいほうから位取りして、１＋２＋１６＋３２＝５１．
ゆえに、「１１００１１００」＋「００１１００１１」＝「１１００１１００」＋５１＝－１
よって、「１１００１１００」＝－５２． ■
今回のような8ビット整数の表現を「２の補数表現」という。
実際に使用されている整数型は、単精度整数が16ビット整数、倍精度整数が32ビット整数である。
オーバーフローとは
8ビット整数の場合には、１２７＋１＝－１２８、と、正の数に数を加えたら負の数になることがある。
計算可能な範囲を超えて計算してしまう。
これを「オーバーフロー」という。
次回は、いよいよ実数が登場する。
最終更新：2011年10月20日 14:09
