有理数と循環小数・無理数 - 小西研究室@電脳工房ＭＳＣ

(3).有理数と循環小数

有理数＝２つの整数 $m,n(n\ne 0)$ で、分数形 $\frac{m}{n}$ で書ける数のこと。

ｍをｎで割り算して、余りを考える。

　余り＝０なら、有限回で割り切れたことになり、有限桁の小数で表現できる。
　余り≠０なら、余りに０を付けて、さらに割り算を繰り返す。どこかの時点で、余りが同じになれば、そこから循環が生じる。
　　　　⇒（無限桁の）循環小数になる。

循環小数を表す場合には、循環する数の上に「・」を表記する。
2つ以上の数のときには、繰り返す最初と最後の数の上に「・」を付ける。

例題.　次の分数を循環小数で表せ。
　①.　３７/１２　　　　　②.　２/７
(解)
①．37÷12＝3...1、割り算の筆算の要領で、10÷12＝0...10
　　100÷12＝8...4、40÷12＝3...4、40÷16＝3...4、
　　　以下、循環するので、 $3.083333\dots=3.08\dot{3}$
②．2÷7＝0...2、20÷7＝2...6、60÷7＝8...4、40÷7＝5...5、50÷7＝7...1、10÷7＝1...3、30÷7＝4...2
　　となり、余りが最初に一致して、これ以降は循環する。
　　　よって、 $0.285714285714\dots=0.\dot{2}8571\dot{4}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　 ■

循環小数を分数に直す

　　循環小数を分数に直す場合は、循環している部分（「節」という）の長さが1なら×10、2なら×100、3なら×1000、・・・、というように掛けて、元の数と引き算して、循環する部分を消去して求める。

例題.次の循環小数を分数で表せ。
　①. $123.\dot{4}\dot{5}$ 　　　②. $12.3\dot{4}5\dot{6}$
(解）
①． $x=123.\dot{4}\dot{5}=123.45454545\dots$ 　より
　　　 $100x=12345.45454545\dots$ 　なので、 $100x-x$ を辺々で考えれば、
　　　 $100x-x=12345.454545\dots - 123.45454545\dots$
　　　 $99x=12222$ となり、 $x=\frac{12222}{99}=\frac{1358}{11}$
②. $12.3\dot{4}5\dot{6}$ =12.3456456456\dots$$　より
　　　 $1000x=12345.6456456\dots$ 　なので、 $1000x-x$ を辺々で考えれば、
　　　 $1000x-x=12345.6456456\dots - 12.3456456456\dots$
　　　 $999x=12333$ となり、 $x=\frac{12333}{999}=\frac{4111}{111}$

(4).無理数の存在

すべての実数が有理数ばかりではない。
上の議論で、有理数は、「有限桁の小数」と「循環する無限小数」であることが分かった。
では、「循環しない無限小数」は何か？答えは「無理数」である。

$\sqrt{2}$ は有理数ではない

（証明）　背理法（結論を否定して、矛盾を導く）で示す。
$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ 　（ $m,n$ は整数、 $n\ne 0$ ）と書けたと仮定する。
$m,n$ は共通な約数があれば割り切り、共通な約数は無いとする。

両辺に $n$ を掛けると、 $n\sqrt{2}=m$ 　で、両辺を2乗すると、 $2n^2=m^2$ を得る。
左辺は2の倍数だから、右辺は2で割り切れなければならない。

なぜならば、2で割り切れないとき、 $m$ は奇数で、 $k$ を整数として、 $m=2k+1$ と書ける。
このとき、 $m^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ となり、 $m^2$ は奇数になる。

ゆえに、 $m^2$ が偶数なので、 $m$ は偶数になる。よって、 $l$ を整数として、 $m=2l$ と書ける。
　よって、 $2n^2=m^2=(2l)^2=4l^2$ で、両辺を2で割り、 $n^2=2l^2$ となる。
上と同じ議論で、 $n$ は偶数になる。
すると、 $m,n$ は両方とも偶数になり、どちらも2で割り切れる。これは、共通な約数が無いことに矛盾する。
これで、証明が終わる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

上の証明で、分数で表現できない数が存在することが証明された。
この分数で表現できない数が「無理数」であり、1回目に述べたようにギリシャ数学の難問の正体が明らかになった。
次回からは、「数え上げ」を考える。

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最終更新：2011年11月16日 11:52