集合の要素の個数 - 小西研究室@電脳工房ＭＳＣ

(5).数え上げ

①要素の数を数えてみよう

集合 $A$ に含まれる要素の個数を　 $\sharp(A)$ 　で表す。

　集合の個数は、1対1の対応付けが基本になる。

2つの集合のすべての要素が1対1の対応が出来れば、「同じ個数」である。

　　 $A=\{a,b,c,d,e\}, B=\{h,i,j,k,l\}$ のとき、例えば、
　　 $a\leftrightarrow h,b\leftrightarrow i,c\leftrightarrow j,d\leftrightarrow k,e\leftrightarrow l$
と対応付けると、1対1になり、個数が等しいことが分かる。

整数と自然数の対応付け

下図のように、対応付けを行う：
　　

すなわち、
$0\leftrightarrow 1,1\leftrightarrow 2,-1\leftrightarrow 3,2\leftrightarrow 4,-2\leftrightarrow 5,\dots$
とする。このとき、
　　偶数番目に相当する数 $n$ は、すべて正の数であり、 $2n$ に対応する（偶数）
　　奇数番目に相当する数 $n$ は、0または負の数であり、 $(-n)\times2+1$ に対応する（奇数）
ことが確かめられる。

例題１．整数 $37$ と $-17$ について、上の対応付けで対応する自然数を答えよ。
【解】　 $37$ は正の数だから、 $37\times2=74$ に対応する。
　　　　 $-17$ は負の数だから、 $17\times2+1=35$ に対応する。

例題２．上の対応で、自然数 $68$ 、 $77$ に対応する整数を求めなさい。
【解】　 $68$ は偶数だから、正の数に対応するので、 $68\div 2=34$
　　　　 $77$ は奇数なので、負の数になる。このため、 $77-1=76,76\div 2=38$ より、 $-38$ に対応する。

2つの整数の組 $(m,n)$ と自然数の対応付け

下図のように、対応付けを行う：
　　

すなわち、
$(0,0)\leftrightarrow 1,(1,0)\leftrightarrow 2,(1,1)\leftrightarrow 3,(0,1)\leftrightarrow 4,(-1,1)\leftrightarrow 5,\dots$
とする。

問1． $(3,-3)$
　 $(0,0)$ は $1$ 番目、正方形の右下の点で考えると、ちょうど２乗の位置にあるので、
　 $(1,-1)$ は $3\times 3=9$ 番目。 $(2,-2)$ は $5\times 5=25$ 番目。
　同様に、 $(3,-3)$ は $7\times 7=49$ 番目。

次回は、この番号の数え方を「体系的」にやってみます。

宿題.(10,24)は何番目の点でしょう？

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最終更新：2011年11月16日 11:54