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(4).表現可能な範囲

IBM方式とIEEE754形式を比較する。
  • IBM方式
符号 指数部 仮数部 全体
単精度実数 １ビット 7ビット（Bias＝64） 24ビット（16進６桁） ４バイト（32ビット＝16進８桁）
倍精度実数 １ビット 7７ビット（Bias＝64） 56ビット（16進14桁） ８バイト（64ビット＝16進16桁）

IBM方式単精度の表現可能な数

（最大の正数）　B=16で、指数はE=63、仮数部はM=0.FFFFFFが最大であるから、
　　　0.FFFFFF_{(16)}\times16^{63}=(\frac{15}{16}+\frac{15}{16^2}+\frac{15}{16^3}+\frac{15}{16^4}+\frac{15}{16^5}+\frac{15}{16^6})\times16^{63}
　　　　　　=\frac{15}{16}(1+\frac{1}{16}+\frac{1}{16^2}+\frac{1}{16^3}+\frac{1}{16^4}+\frac{1}{16^5})\times16^{63}
　　　　　　=\frac{15}{16}\frac{1-\frac{1}{16^6}}{1-\frac{1}{16}}\times16^{63}
　　　　　　=(1-\frac{1}{16^6})\times16^{63}\approx 16^{63}\approx 7.023701\times10^{75}
（最小の正数）　B=16で、指数はE=-64、仮数部はM=0.1が最小であるから、
　　　0.1_{(16)}\times16^{-64}=16^{-65}\approx 5.39761\times10^{-79}
となる。
  • IEEE754方式
符号 指数部 仮数部 全体
単精度実数 １ビット 8ビット（Bias＝127） 23ビット ４バイト（32ビット＝16進８桁）
倍精度実数 １ビット 11ビット（Bias＝1023） 52ビット ８バイト（64ビット＝16進16桁）
  • IEEE754方式の場合、単精度と倍精度で、指数部のビット数が異なるので、表現できる最大数・最小数が精度によって異なる。

IEEE754方式単精度の表現可能な数

（最大の正数）　B=2で、指数はE=128、仮数部はM=1.11111111111111111111111(23桁)が最大であるから、
　　　1.11111111111111111111111_{(2)}\times2^{128}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{23}})\times2^{128}
　　　　　　=\frac{1-\frac{1}{2^{24}}}{1-\frac{1}{2}}\times2^{128}=(1-\frac{1}{2^{24}})\times2^{129}\approx 2^{129}\approx 6.80565\times10^{38}
（最小の正数）　B=2で、指数はE=-127、仮数部はM=1.0が最小であるから、
　　　1.0_{(2)}\times2^{-127}=2^{-127}\approx 5.87747\times10^{-39}
となる。
  • IEEE754単精度は、IBM単精度よりも表現できる範囲が小さいことが分かる。ところが、下記で述べるように、倍精度は驚くほど広い。これが、現在のPCでIEEE754が採用されている理由になっている。

IEEE754方式倍精度の表現可能な数

（最大の正数）　B=2で、指数はE=1024、仮数部はM=1.11111111111111\dots111111111(52桁)が最大であるから、
　　　1.1111111111111111\dots1111111_{(2)}\times2^{1024}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{52}})\times2^{1024}
　　　　　　=\frac{1-\frac{1}{2^{53}}}{1-\frac{1}{2}}\times2^{1024}=(1-\frac{1}{2^{53}})\times2^{1025}\approx 2^{1025}\approx 1.79769\times10^{308}
（最小の正数）　B=2で、指数はE=-1023、仮数部はM=1.0が最小であるから、
　　　1.0_{(2)}\times2^{-1023}=2^{-1023}\approx 2.22507\times10^{-308}
となる。
（注意）以上のように、どの方式にも表現できる最大数と最小数が存在する。
最大数を超えると「オーバーフロー（overflow）」になり、最小数を超えると「０」と判定される。０でない小さい数であっても、０として認識されることは、計算の限界があることになる。
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最終更新：2011年11月15日 21:33