(2).最大公約数と最小公倍数
- 整数
に対して、
を
で割ると余りが
になるとき、「はで割り切れる」という。
（例）
は
で割り切れる。
- 整数を割り切る整数を「の約数」という。
（例）
の約数は、
である。
- 2つの整数をともに割り切る整数を「公約数」といい、公約数の最大のものを「最大公約数（
）」という。
（例）
の倍数は、
- 2つの整数の倍数になる整数を「公倍数」といい、正の公倍数のうち、最小のものを「最小公倍数（
）」という。
- 2つの整数の最大公約数が１のとき、2つの整数は「互いに素である」という。
[定理]2つの整数に対して、最大公約数を
、最小公倍数を
とすると、
が成り立つ。
（証明）仮定より、
、
で、
と
は互いに素である、と書ける。
このときの最小公倍数は、
であるので、
■
素数（
）
- １と自分自身しか約数を持たない正の整数を「素数」という。
- 素数は、「エラトステネスのふるい」という方法で、昔からその存在を知られていた。
- 素数でない整数を「合成数」という。
- 合成数を素数で割ることを繰り返して、素数の積として表すことができる。
（例） 素数は、２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、・・・
６＝２×３、と書けるので、６は合成数である。
- その数が素数であるかどうかを確かめるには、その数の平方根までの素数で割り算をすればよい。
（例） 163は
であるので、１２までの素数、２、３、５、７、１１で割ればよい。
結果的に、１６３はどの素数でも割り切れないので、素数である。
倍数の判定方法
- 2の倍数・・・最後の桁の数字が、
- 3の倍数・・・すべての桁の数字を合計して、3の倍数なら、3の倍数。
さらに、すべての桁の数字の合計が9の倍数なら、9の倍数。
（証明）たとえば、4桁の10進数を「
」とすると、
となるので、
が3の倍数なら、全体が3の倍数になる。
- 5の倍数・・・最後の桁の数字が、
- 11の倍数・・・桁の数字の符号を、+、-、+、-、・・・と変えて合計して11の倍数であれば、11の倍数。
（証明） いま、11、99、990、1001、・・・は11の倍数である。（
）
ゆえに、たとえば、4桁の10進数を「
」とすると、
となるので、
が11の倍数なら、全体が11の倍数になる。
次回は中間試験です。上記の部分までが、試験範囲です。
最終更新：2011年11月28日 12:32
