基礎微積分Ⅰ（2012年度前学期） - 小西研究室@電脳工房ＭＳＣ

まず、 $y=x^x$ に対して、両辺の対数を取ると、
$\log y=x　\log x$
この両辺を $x$ で微分して、左辺は、
$\frac{d}{dx} \log y =\frac{d}{dy} \log y \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{y'}{y}$
右辺は、
$(x \log x)'=\log x +x \cdot \frac{1}{x}=\log x +1$
ゆえに、
$\frac{y'}{y}=\log x +1$
よって、
$y'=y(\log x +1)=x^x (\log x +1)$
となる。ゆえに、
$(x^x)'=x^x (\log x +1)$
がわかる。
これより、 $y=x^{x^x}$ に対して、両辺の対数を取ると、
$\log y=x^x \log x$
両辺を $x$ で微分して、
$\frac{y'}{y}=\frac{d}{dx}(x^x \log x)=(x^x)'\log x +x^x \frac{d}{dx}\log x$
ゆえに、
$y'=y((x^x)'\log x +x^x \frac{d}{dx}\log x)=x^{x^x}(x^x(\log x +1)\log x +x^x \cdot \frac{1}{x} )$
$=x^{x^x}(x^x((\log x)^2+\log x + \frac{1}{x})$

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最終更新：2012年06月13日 09:41