正規分布の計算問題 - 小西研究室@電脳工房ＭＳＣ

練習問題解答例

【練習問題１】

　統計学の試験（ $100$ 点満点）で、上位 $15$ ％の学生に成績「優」をつけようと思う。何点以上とすれば良いか？
　試験の得点は、平均 $55$ 点、標準偏差 $15$ 点の正規分布に従うものとする。

（解答）

試験成績を $X$ とすると、 $X \sim N(55,15^2)$ である。
ゆえに、 $Z=\frac{X-55}{15}$ とおくと、 $Z \sim N(0,1^2)$ となる。

求める得点を $\alpha$ とすると、 $P(X\ge \alpha)=0.15$ になる。
ここで、 $X\ge\alpha \Longleftrightarrow Z=\frac{X-55}{15} \ge \frac{\alpha-55}{15}$

すると、数表から、 $\frac{\alpha-55}{15}= 1.035$ であることがわかるので、
$\alpha=1.035\times15+55=70.525$ であり、 $71$ 点以上、となる。

【練習問題２】

　知能指数 $IQ$ は正規分布 $N(100,15^2)$ に従う。
　 $IQ$ が $150$ 以上の人は全体の何％を占めるか？

（解答）

知能指数を $X$ とすると、 $X \sim N(100,15^2)$ である。
ゆえに、 $Z=\frac{X-100}{15}$ とおくと、 $Z \sim N(0,1^2)$ となる。

求める確率は、 $P(X\ge 150)$ 　である。
ここで、 $X\ge150 \Longleftrightarrow Z=\frac{X-100}{15} \ge \frac{150-100}{15}=\frac{50}{15}\fallingdotseq 3.33$
であるので、
$P(X\ge 150)=P(Z\ge 3.33)\= 0.00035$ ゆえに、 $0.035$ ％である。

【練習問題３】

　確率変数 $X$ が正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ に従うとする。
（１）　 $\mu=5,\sigma=2$ のとき、 $P(X\le 7)$ を求めよ。
（２）　 $P(X\le 6)=0.9773,P(X\le 4)=0.8413$ 　であるとき、 $\mu,\sigma$ の値を求めよ。

（解答）

（１）　仮定より、 $X \sim N(5,2^2)$ である。
ゆえに、 $Z=\frac{X-5}{2}$ とおくと、 $Z \sim N(0,1^2)$ となる。

ここで、 $X\le 7 \Longleftrightarrow Z=\frac{X-5}{2} \le \frac{7-5}{2}=1.0$
であるので、
$P(X\le 7)=P(Z\le 1.0)=0.5+0.3413=0.8413$

（２）いま、 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ とする。
ゆえに、 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ とおくと、 $Z \sim N(0,1^2)$ となる。

ここで、 $X\le 6 \Longleftrightarrow Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{6-\mu}{\sigma}$
であるので、
$P(X\le 6)=P(Z\le \frac{6-\mu}{\sigma})=0.9773$
であるので、
$P(0\le Z\le \frac{6-\mu}{\sigma})=0.9773-0.5=0.4773$
であり、数表から　 $\frac{6-\mu}{\sigma}\= 2.0$ で、 $2\sigma+\mu=6$ を得る。(*)

また、 $X\le 4 \Longleftrightarrow Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{4-\mu}{\sigma}$
であるので、
$P(X\le 4)=P(Z\le \frac{4-\mu}{\sigma})=0.8413$
であるので、
$P(0\le Z\le \frac{4-\mu}{\sigma})=0.8413-0.5=0.3413$
であり、数表から　 $\frac{4-\mu}{\sigma}\= 1.0$ で、 $\sigma+\mu=4$ を得る。(**)

上の(*)(**)より、 $\sigma=2,\mu=2$ を得る。

まあ、上記のような解になりますので、試験勉強の参考にしてください。

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最終更新：2016年05月23日 12:21