６．コンピュータ内部での計算の仕組み
コンピュータ内部では、どのように計算をしているのだろうか？
まず、取り扱う事の出来る桁は、有限桁である。一般に、整数演算は、単精度演算は２バイト（＝１６ビット）、倍精度演算は４バイト（＝３２ビット）、４倍精度演算は８バイト（＝６４ビット）で行う。
２バイトの整数の場合、扱う数は、００００００００００００００００～１１１１１１１１１１１１１１１１の数である。単純に１０進数に直すと、０～６５５３５になる。
ところで、足し算は良いが、引き算はどうするのか…？これは、補数表現を用いて対処する。分かりやすくするために、８ビットの整数で考えてみよう。
８ビットの場合、００００００００（＝０）～１１１１１１１１（＝２５５）である。
ここで、１１１１１１１１＋１＝１００００００００ となる。８ビットの整数なのに９ビットある。電気信号で計算させるので、８桁を超えたところで無視する事にすると、
１１１１１１１１＋１＝００００００００（＝０）
なので、１１１１１１１１＝－１ と考えると都合が良い。都合が良いとそう決めるのが数学者。
先頭の１ビットによって次の規則を置くことにする。
先頭の１ビットが０なら、０または正の数。
先頭の１ビットが１なら、負の数。
これにより、８ビットの数は、００００００００（＝０）～０１１１１１１１（＝１２７）、そして、負の数は、
１１１１１１１１（＝－１）～１０００００００（＝－１２８）となり、－１２８～１２７ が表現できるようになった。
◎ ところで、上のように決めると、次のようなことが起こる。
１０００００００（＝－１２８）＋１０００００００（＝－１２８）＝００００００００（＝０）
!?となりそうなところであるが、表現できる桁数の範囲を超えた演算なので仕方がないのである。このような現象を、オーバーフロー（over flow）という。
例題１ 次の８ビットの整数を１０進数に直せ。
（１）．０１０１０１０１ （２）．１００１００１１ （３）．１１００１１０１
（解答）
（１）．先頭のビットが０だから、正の数を表す。ゆえに、普通に２進数を１０進数に直して、
０１０１０１０１＝６４＋１６＋４＋1＝８５
（２）．先頭のビットが１だから、負の数を表す。ゆえに、０と１のパターンを逆にした数を考えて、
１０進数に直すと、
０１１０１１００＝６４＋３２＋８＋４＝１０８
初めの数と、０－１パターンを逆にした数を加えると、全てのビットが１になり、－１である。
結局、初めの数をＸで表せば、Ｘ＋１０８＝－１であり、Ｘ＝－１０９がわかる。
（３）．先頭のビットが１だから、負の数を表す。ゆえに、０と１のパターンを逆にした数を考えて、
１０進数に直すと、
００１１００１０＝３２＋１６＋２＝５０
初めの数と、０－１パターンを逆にした数を加えると、全てのビットが１になり、－１である。
結局、初めの数をＸで表せば、Ｘ＋５０＝－１であり、Ｘ＝－５１がわかる。
上で述べたように、正の数から負の数を導く方法を、２の補数表示方式という。２の補数表示方式は、基本的に、１１１１１１１１を－１として扱うところに特色がある。
もうひとつの表示方式に、１の補数表示方式がある。これは、対応する負の数を、０－１パターンを単に逆にしたもので表示する。すなわち、０１０１０１０１は８５であるが、－８５をこの０－１パターンを逆にした１０１０１０１０と定める。
一見、この方が作り方が単純で、良さそうに見えるが、実は、０に相当するのは、
００００００００ と １１１１１１１１
であり、２つの０を作ってしまう。
最終更新：2015年11月16日 17:51
