相加平均 - 彷徨えるキツネ - atwiki（アットウィキ）

【問題】
以下の不等式を証明しなさい。
a>b>0のとき
$\frac{ a + b} { 2 } \ge \sqrt{ab}$
【証明】
$\frac{ a + b} { 2 } - \sqrt{ab} = \frac{ (\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 -2\sqrt{ab} }{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}$
$a \ge b$ より $\sqrt{a} - \sqrt{b} \ge 0$ よって
$\frac{ a + b} { 2 } - \sqrt{ab} \ge 0$ となる。
以上から
$\frac{ a + b} { 2 } \ge \sqrt{ab}$ が証明された。