メモ

S=p²+p+1が素数の場合に限定する。また，p≥5とする。p=6m+1ならばSが3の倍数になるのでp=6m−1に限られる。

補題

Aをp+1個の整数の集合とし，その総和が法Sで0になると仮定する。定数aを選び，Aを元毎にa倍したものがAに一致するならばa=r^pとなるrが存在する。

証明

(Z/SZ)^×の生成元eを任意に決め，それを底とする対数をλで表す。即ち，a≡e^mならばλ(a)=mとする。

Aの元毎の対数の総和をLとする。元毎にa倍した後の対数の総和はL+(p+1)λ(a)であるが，それは法S−1でLに一致しなければならない。従い，λ(a)はpの倍数であり，r=e^λ(a)/pが要求を充足する。

補題

Y = (S−1)/λ(a) とする。Aが正負対称でないかぎり，Yは奇数である。正負対称とは x∈A → −x∈A をいう。

証明

Yが偶数であれば a^Y/2 = e^λ(a)·(Y/2) = e^(S−1)/2 = −1 となる。