群の公理

群は置換を抽象化したものである。群を考えるときには置換の姿を考えることが大事であるが，そこに留まっていては折角の抽象化が無駄になる。群とは群の公理を満たすものをいう。即ち，積を備えた集合で以下の条件を満たすものを群と呼ぶ。

• (結合律) a(bc) = (ab)c
• (単位元) ∃1∀a: 1a=a
• (逆元) ∃a⁻¹: a⁻¹a = 1

単位元や逆元の一意性は定理として得られるが，まずは任意の単位元を1と書き，その1について各aの任意の逆元をa⁻¹と書くものとする。

aa⁻¹ = 1aa⁻¹ = (a⁻¹)⁻¹a⁻¹aa⁻¹ = (a⁻¹)⁻¹1a⁻¹ = (a⁻¹)⁻¹a⁻¹ = 1

a1 = aa⁻¹a = 1a = a

a⁻¹は右からの逆元にもなっている。逆元により消去律が導かれ，消去律により単位元と逆元の一意性が示される。また，以下も消去律により容易である。

(a⁻¹)⁻¹ = a

(ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹

群から群への写像φは積の関係を保存するべきであり，それをしない写像は群の台集合から台集合への写像というべきである。

φ(ab) = φ(a)φ(b)

この意味で群から群への写像になるものを準同型写像と呼ぶ。準同型写像が全単射であれば逆写像も準同型写像になる。そのような準同型写像を同型写像と呼ぶ。群の性質は積のみによって記述されるものであるから，同型写像で結ばれる群と群は同じものと見てよい。