部分群，商群，同型定理

群Gの部分集合HがGと同じ演算で群を成すとき，HをGの部分群と呼びH<Gと書く。aH (a∈G)をHの左剰余類と呼ぶ。 aH=Ha (∀a∈G)であれば剰余類の集合G/Hが(aH)(bH)=(ab)Hを積にして群を成す。このとき，HをGの正規部分群と呼びH⊲Gと書く。また，G/Hを商群と呼ぶ。

言葉の問題であるが，左剰余類は右作用による軌道(右H集合GのH軌道)と同じ形になる。主客を逆にすれば左右が逆になり，この左剰余類を右剰余類と呼ぶ人もいる。しかし，左イデアルなどとの関係を思えば左剰余類と呼ぶ方が適当であろう。

拡大

商群を作る操作の逆を拡大という。群Gが正規部分群Kを含み，G/KがQに同型であるとき，GはQによるKの拡大であるという。Gの中心がKを含むときは中心拡大ともいう。 拡大は一意ではない。直積Q×Kや半直積Q⋉Kも拡大の一種であるが，巡回群による巡回群の中心拡大といえども一般に半直積では表されない。これは巡回群C₄がC₂のC₂による拡大であることを考えれば良い。

準同型定理

準同型定理，若しくは同型定理と呼ばれる一連の定理がある。 準同型定理の本質は全ての代数系に共通すると言わているが，それよりも群準同型写像の核が群であるという事実の方が重い。半群の準同型写像も核と呼ばれるものを持つが，それは半群ではなく，始域の部分集合ですらない。

• (第一同型定理) φ ∈Hom(G,H) ⇒ ker(φ)⊲G, im(φ)<H, G/ker(φ) ≃ im(φ)
• (第二同型定理) H<G, K⊲G ⇒ H/(H∩K) ≃ HK/K
• (第三同型定理) H,K⊲G, K<H ⇒ (G/K)/(H/K) ≃ G/H

K=ker(φ)とする。Kが正規でないと仮定すればK≠a⁻¹Kaとなるaがあり，a⁻¹ka∉Kとなるk∈Kがある。しかし，これはφ(a⁻¹ka)=φ(a)⁻¹φ(k)φ(a)=1に矛盾する。a∈im(φ)の逆像a′=φ⁻¹(a)はGの部分集合であり，a′=a′Kは難しくない。a′∈G/Kであり，a↦a′がim(φ)からG/Kへの同型写像になる。im(φ)は群G/Kと同型であるから確かに群である。 第二定理と第三定理は第一定理の系である。

φ: H→HK/K, h↦hK

ker(φ) = {h∈H | hK = K} = H∩K

im(φ) = {hK | h∈H} = HK/K

ψ: G/K→G/H, gK↦gH

ker(ψ) = {gK∈G/K | gKH = H} = {gK | g∈G, gKH = H} = {gK | g∈H} = H/K

im(ψ) = {gKH | gK∈G/K} = {gH | g∈G} = G/H