位数

群の位数とは台集合の濃度をいう。位数が有限な群を有限群という。単に群論といえば主に有限群を扱うが，そのための最も基本的な道具は位数であるといって良い。その位数を有用な道具にしているのがラグランジュの定理である。群の公理の結合律のみを満たすものは半群である。単位元は逆元を定義するための便宜に過ぎない。逆元の公理こそが群を群にしていると考えて良い。逆元の公理から導かれるラグランジュの定理は群論の基本定理と呼ぶに値する。

(ラグランジュの定理) 有限群の部分群の位数は群の位数の約数である。

〔証明〕 Gを有限群，HをGの部分群とする。 g∈Gとして gH = {gh | h∈H} を剰余類と呼ぶ。 g₁H ∩ g₂H ≠ ∅ であれば g₁h₁=g₂h₂ となる h₁,h₂∈H があり g₂H = g₁h₁h₂⁻¹H = g₁H となる。即ち，交わる剰余類は互いに等しい。 また，Hは単位元を含むから g∈gH である。 |gH| ≤ |H| と |g⁻¹H| ≤ |H| は明らかであるといって良いが，後者にgを乗すれば |H| = |gg⁻¹H| ≤ |gH| となり，前者と合わせて |gH| = |H| を得る。 即ち，Gは互いに交わらない整数個の剰余類へと分割され，各剰余類はHと同数の元を含む。従い，G の位数はHの位数の整数倍である。

群の元aの位数とはaが生成する部分群 (a) = {aⁿ | n∈'Z} の位数をいう。元の位数は群から正整数への関数になり，位数によって群論の問題が数論の問題に帰着することが多い。元の位数について以下が成立する。

• 単位元の位数は1である。逆に位数が1であれば単位元である。
• 逆元a⁻¹の位数はaの位数に等しい。
• 元の積abの位数はaの位数とbの位数の最小公倍数の約数である。
• pとqを互いに素とする。位数pqの元は位数pの元と位数qの元の積である。