可換群

群においては可換性が大きな意味を持つ。元aと元bが可換であるとはab=baであることをいう。全ての元が全ての元と可換であれば群の問題の殆どが消滅する。そのような群を可換群という。可換群は環や体を支える重要な存在であるが，群としては完全に解明されていると考えて良い。

有限生成可換群の基本定理と呼ばれる定理により，全ての有限可換群は素数冪位数の巡回群の直積に分解される。逆に有限個の巡回群の直積が可換群になるのは無論である。

(有限生成可換群の基本定理) 有限生成可換群は素数冪位数の巡回部分群の直積である。

この定理は単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の系として与えられることが多いが，群の基本定理と呼ばれる定理の証明に環を持ち出すのは快くない。ここでは敢えて群のみの定理として証明してみる。

有限群に限定し，二段階に分けて証明する。

• 有限可換群は素数冪位数の部分群の直積である。
• 素数冪位数の可換群は巡回部分群の直積である。

群Gの元で位数が素数pの冪であるものの集合をG(p)と書く。 p≠qならばG(p)∩G(p)={1}は明らかである。 また，元の積abの位数はaの位数とbの位数の公倍数の約数であるから，G(p)は積閉で群である。任意のg∈Gにつき，gの位数をn=s^en′の形に書く。但し，sは素数，n′はsと素とする。 先の補題により，gは位数s^eの元と位数n′の元の積になり，帰納的に素数冪位数の元の積へと分解される。以上により，GはG(p)の直積であるといえるが，各G(p)の位数がpの冪であることは後に明らかになる。

後半は位数に関して帰納法を用いる。G(p)の元の位数はpの冪であるから，G(p)の位数がp未満となることは自明でない限り有りえない。G(p)の位数がpであれば，素数位数の群は必ず巡回群であるから証明が終わる。 各G(p)の中で位数が最大の元をhとし，hが生成する巡回群をH=(h) とする。H=G(p)であれば証明が終わる。 Hが真部分群なら商群G(p)/Hを考える。この商群の元の位数は全てpの冪である。何故ならば，商群の元aHの位数がpの冪でなければaの位数もpの冪でなくなってしまうからである。 従い，帰納法の仮定によりG(p)/Hは巡回群A_i=(a_iH)の直積になる。各A_iの位数をn_iとすれば a_i^n_i = h^m_i と書けるが，hとして位数最大の元を選んであるから n_i≤m_i である。 しかも，n_iもm_iもp以外の因数を持たないからn_iはm_iを割り切る。 以上を踏まえて b_i = a_ih^−m_i/n_i とすればG(p)はH=(h)と各(b_i)の直積になる。 なお，G(p)はpの冪を位数とする群の直積であるから，G(p)の位数はpの冪になる。

前半はシローの定理を用いても良い。シローp部分群をPとする。可換群の部分群は正規であるから，Pは他の共役類を持たない。Pは位数がpの冪の元を全て含む。

非有限生成の可換群

有理数の加法群Qは部分群の直積にならない。乗法群Q^×は素数が生成する可算個の自由群の直積になる。