シローの定理

• (シローの定理) 群Gの位数がp^emであり，素数pがmを割らないとき，Gは位数p^eの部分群を持つ。それらをシローp部分群と呼ぶ。シローp部分群は互いに共役であり，その数はpを法として1に合同である。Gの部分群で位数がpの冪であるものは何れかのシローp部分群に含まれる。

• (ホールの定理) 可解群Gの位数がmnであり，mとnとが互いに素で あるとき，Gは位数mの部分群を持つ。mの素因数を集合πで表し，それらをホールπ部分群と呼ぶ。ホールπ部分群は互いに共役である。Gの部分群で位数がmを割るものは何れかのホールπ部分群に含まれる。

可換群の場合

可換群の場合は可換群の基本定理から容易に導かれる。可換群Gを素数冪位数の群の直積に分解し，その直積因子から位数がpの冪であるものを集めればシローp部分群Pになる。GがPと異なるシローp部分群Qを持てば，PQがPより大きいp部分群になってGの位数を割り切らない。即ち，Gのシローp部分群は唯一である。

可換群の基本定理に依存しない証明を与える。Gを最小位数の反例とする。帰納法を二重に使うことになるが，まずはGが位数pの元を持つことを示す。単位元以外のGの元を任意に取ってaとする。aの位数がpで割り切れるときはb=a^|a|/pの位数がpになる。aの位数が素数pで割り切れなければ，aⁱを(aⁱ)^pに移す写像は単射であり，かつ鳩の巣の原理により全射である。aが生成する部分群をAとし，位数pのG/Aの元をgAとすれば，g^pA = (gA)^p = A である。従い，g^pa^j = 1 となるjがあり，g^p(aⁱ)^p = 1 となるiがあり，b=gaⁱの位数がpになる。

以上により，位数pの元b∈Gの存在が示された。bが生成する部分群をBとし，G/Bのシローp部分群をP/Bとすれば，PがGのシローp部分群になる。

証明

Gを最小位数の反例とし，ZをGの中心とする。Gが可換な場合については既に示してあるから，ZはGより真に小さいと仮定してよい。Zの位数がpで割り切れれば，AをZのシローp部分群，P/AをG/Aのシローp部分群とすれば，PがGのシローp部分群になる。従い，Gの中心の位数はpで割り切れないと仮定してよい。

G自身のGへの共役作用による軌道分解を考える。Zに属する元の軌道は各一点のみからなる。他の軌道の指数は2以上であるが，|G|−|Z|がpの倍数ではないからpで割られない指数の軌道が存在し，その軌道の任意の一点の固定群はGよりも小さく，シローp部分群を持つ。それがGのシローp部分群にもなる。

Gの任意のシローp部分群Pの共役類の集合をSとし，PのSへの共役作用による軌道分解を考える。

S={gPg⁻¹ | g∈G}

P(Q)={pQp⁻¹ | p∈P}

Sの元はGのシローp部分群である。P(Q)={Q}はPQ=QP≤Gを意味するが，P=QでなければPQの位数がp^eを超えてしまう。従い，P(P)以外の軌道の指数はpの冪である。即ち，Sの元の数はpを法として1に等しい。一方，Rを任意のシローp部分群としてRの共役作用によるSの軌道分解を考えれば指数1の軌道が必ずある。それをR(Q′)とすれば先と同じくRQ′≤Gであり，RQ′の位数が矛盾しないためにはR=Q′でなければならない。即ち，RはSに属する。

別証明

これは上と同工異曲である。Gを最小位数の反例とし，ZをGの中心とする。Gが可換な場合については既に示してあるから，ZはGより真に小さいと仮定してよい。Gの真部分群Hの指数がpで割り切れないときは，Hのシローp部分群がGのシローp部分群になる。従い，Gの部分群の指数は必ずpで割り切れると仮定してよい。

G自身のGへの共役作用による軌道分解を考える。Gの中心Zに属する元の軌道は一点のみからなり，他の軌道は二点以上からなるが，二点以上からなる軌道に属する点の固定群の指数は先に示したようにpの倍数である。従い，二点以上からなる軌道に属する点の数は全てpの倍数であり，Zの位数もpの倍数でなければならない。AをZのシローp部分群，P/AをG/Aのシローp部分群とすれば，PがGのシローp部分群になる。

フラッチニ論法

群Gが正規部分群Hを持ち，Hがシローp部分群Pを持つと仮定する。 任意のg∈Gについてg⁻¹Pg≤g⁻¹Hg=Hであるから，g⁻¹PgはHのシローp部分群になる。シローp部分群は互いに共役であるから，g⁻¹Pg=h⁻¹Phとなるh∈Hがあり，gh⁻¹∈N_G(P)となる。g∈N_G(P)Hであるが，gは任意であるから結論としてG=N_G(P)Hを得る。これをフラッチニ論法という。