可解群

可解群

D₀=G から D_i=[D_i−1, D_i−1] を帰納的に作り，終に D_n={1} に至るときにGは可解群であるという。 各D_iはD_i−1の正規部分群であり，商群D_i−1/D_iは可換である。D_iはGの正規部分群でもある。

可解性は可換性よりも弱い。交替群でいえばA₃が可換，A₄が非可換で可解，A₅以上が非可解である。歴史的にはA₅の非可解性が群論の一つの源になっている。

可解群の部分群は可解群である。 可解群の商群は可解群である。 可解群の可解群による拡大は可解群である。 有限個の可解群の直積は可解群である。 可解群の極小正規部分群は同じ素数位数の巡回群の直積である。 可解群の極大正規部分群による商群は素数位数の巡回群である。

• Feit-Thompsonの定理
• Fitting部分群

可解群の部分群

H≤Gであれば[H,H]≤[G,G]であるから，Gの交換子群列が有限長であればHの交換子群列も有限長である。従い，Gが可解であればHも可解である。

NをGの正規部分群とすれば[G/N,G/N]=[G,G]N/Nであるから，Gの交換子群列が有限長であればG/Nの交換子群列も有限長である。従い，Gが可解であればG/Nも可解である。

Nを可解群Gの極小正規部分群とする。Nは可解であり，その交換子群N′はNより真に小さい。N′はNの特性部分群であるからGの正規部分群である。従い，Nの極小性によりN′=1であるから，Nは可換群である。|N|を割る素数pを取り，H={x∈G | x^p=1}とする。HはNの特性部分群であるからGの正規部分群であり，Nの極小性によりN=Hである。

Mを可解群Gの極大正規部分群とする。G/Mは可解である。しかし，G/Mが自明でない正規部分群を持てば同型定理によりMの極大性に反する。正規部分群を持たない可解群は素数位数の巡回群しかない。

ホールの定理

mとnを互いに素な数とするとき，位数mnの可解群Gは位数mの部分群を持つ。Gの位数mの部分群は互いに共役である。逆に，群Hが|H|/mとmが互いに素になる任意のmにつき位数mの部分群を持てばHは可解群である。