準素群

全ての元の位数が素数pの冪である群をp準素群，略してp群という。 有限群に限れば群の位数がpの冪であればp群であるといえる。 p群の部分群は当然にp群である。また，p群の商群もp群である。

Nを有限p群Gの正規部分群とし，Gの共役作用によるNの軌道分解が考える。各軌道に属するNの元の個数はpの冪であり，単位元1は1点のみの軌道を成すから，他にも1点のみの軌道{a}がある。aはGの中心に含まれる。即ち，N∩Z(G)≠1がいえる。また，始めにN=GとすればZ(G)≠1がいえる。

K=N∩Z(G)とする。KはGの中心に含まれるからN≤Gの正規部分群である。従い，NがGの極小正規部分群であるとするならば，K=Nでなければならない。即ち，p群Gの極小正規部分群はGの中心に含まれ，ゆえに可換群である。 自明でない可換p群は位数pの部分群を持つ。従い，位数がp²以上のp群は真の正規部分群を持つ。従い，p群の極小正規部分群の位数はpである。 MをGの極大正規部分群とする。G/Mの位数がp²以上であれば，G/Mが真の正規部分群H/Mを持ち，HがGの真の正規部分群になってMの極大性に反する。従い，p群の極大正規部分群の指数はpである。

• 自明でないp群は自明でない中心を持つ。
• 自明でないp群の正規部分群は中心の自明でない部分を含む。
• 位数がp²以上のp群は真の正規部分群を持つ。
• 有限p群の極小正規部分群の位数はpである。
• 有限p群の極大正規部分群の指数はpである。
• 有限p群は冪零群である。
• 非可換準素群は自明でない特性部分群を持つ。

正規部分群の列

有限p群Gが正規部分群Hを持つとき，自明な場合を除き，Hを極大部分群として含むGの正規部分群がある。また，Hに極大部分群として含まれるGの正規部分群がある。

∵ G/Hはp群であるから，Z(G/H)は位数pの部分群N/Hを持つ。NはGの正規部分群であり，かつHを極大部分群として含む。 GはHに含まれる位数pの正規部分群N¹を持ち， G/N¹はH/N¹に含まれる位数pの正規部分群N²/N¹を持つ。N²はGの位数p²の正規部分群である。帰納的にHの極大部分群であるGの正規部分群が得られる。

連正規部分群の列

有限p群Gが部分群Hを持つとき，自明な場合を除き，Hを極大部分群として含むGの連正規部分群がある。有限p群の部分群は全て連正規部分群である。

∵ Hを含むGの極大部分群H₁があり，H₁はGの連正規部分群である。H≠H₁であれば，Hを含むH₁の正規部分群H₂があり，H₂はGの連正規部分群である。帰納的にHを極大部分群とするGの連正規部分群を得る。従い，HもGの連正規部分群であり，Hの任意の極大部分群もGの連正規部分群である。