右と左

作用

y=f(x)のfは左からxに作用している。行列Tがベクトルvに作用しているときにはTvと書くのが普通であるが，この場合もTがvに左から作用している。 しかし，商群G/Nの元はaNの形に書かれる。このaNは左剰余類とも呼ばれるが，実はNの右作用による軌道である。ここで右作用の形が用いられる理由はスラッシュ記号の形にあるのかもしれないが，正規部分群と環のイデアルの類似も見逃せない。イデアルは環の作用を受ける加群であるが，環の作用を左から受けるためには右から環に作用しなければならない。

また，gによる右共役作用はx^g=g⁻¹xg，左共役作用は^gx=gxg⁻¹と書かれる。^(gh)x=^g(^hx)であるから，左共役の記号が左肩に乗るのは理に適っている。しかし，逆元x⁻¹や冪指数x³は右肩に乗り，左肩の記号と右肩の記号が入り交じると見苦しい。これが群論で右作用が好まれる理由であろうか。

結論として，作用は右作用を主とする。

交換子

交換子[x,y]の定義としてx⁻¹y⁻¹xyとxyx⁻¹y⁻¹があるが，自然な選択は共役の形に依存する。

• [x,y]=x⁻¹y⁻¹xy ⇒ xy=yx[x,y], x^y=x[x,y]
• [x,y]=xyx⁻¹y⁻¹ ⇒ xy=[x,y]yx, ^xy=[x,y]y

半直積

半直積の形も共役作用の形に依存する。

H⋉N: (h,n)·(h′,n′)=(hh′,n^h′n′)

N⋊H: (n,h)·(n′,h′)=(n^hn′,hh′)