小さな群

クラインの四元群

何ということもない2個の巡回群の直積である。当然，可換群である。

K=C₂×C₂

四元数群

位数8の非可換冪零群てあり，k=ijとするとi²=j²=k²=ijkとなり，四元数環の単元の乗法群と同型である。クラインの四元群とは異なる。

Q=(i, j | i⁴, i²j², i³jij)

正二十面体群

位数60の単純群であり，交替群A₅に同型である。

I={s²,t³,(st)⁵}

位数24の群

対称群S₄を除き，位数24の群は正規なシロー2部分群か正規なシロー3部分群を持つ。

∵ Gを位数24の群とし，Gのシロー2部分群とシロー3部分群が共に正規でないと仮定する。シローの定理により，Gは4個のシロー3部分群を持つ。Nを任意のシロー3部分群の正規化群とし，Nによる剰余類の集合G/N={xN | x∈G}へのGの自然な作用を調べる。その作用の核KはGの正規部分群であるから，|K|=3であればGが正規なシロー3部分群を持つことになる。また，|K|=2であればG/Kが正規なシロー2部分群がシロー3部分群を持ち，Gも正規なシロー部分群を持つことになる。KはNの部分群であるから，他に可能なのは|K|=1しかない。4個の元からなる集合にGが忠実に作用するからGからS₄への単射があり，位数を比べれば全単射であり，GはS₄に同型である。

位数60の単純群

最小位数の非可換単純群であり，交替群A₅に同型，若しくはリー型の有限群PSL₂(5)に同型である。 位数60の単純群は一意である。

位数168の単純群

位数60の次に小さい非可換単純群である。 位数168の単純群は一意である。

バーンサイドの定理の特殊形

◇ pとqを素数と，p<qとする。位数pqの群のシローq群は正規である。

∵ Gを位数pqの群とする。Gのシローq部分群の個数はpの約数であるから，qを法にして1に合同となるには1になるしかない。シローq部分群が唯一であるから，それは正規部分群である。

◇ pとqとrを素数とし，p<q<rとする。位数pqrの群のシローr部分群は正規である。

∵ Gを反例とする。Gはpq個のシローr部分群を持つ。位数rの元がpq(r−1)個になるからシローq部分群がr個にはなりえず，Gのシローq部分群Qは正規である。 G/Qのシローr部分群は上に示したように正規であるから，Gは位数prの正規部分群Hを持つ。 Hのシローr部分群は正規である。正規なシロー部分群は特性部分群であり，正規部分群の特性部分群は正規部分群であるから，Gは正規なシローr部分群を持つ。即ち，Gは反例になりえない。

◇ pとqを素数とする。位数p²qの群は単純群でない。

∵ Gを位数p²qの群とし，n_pをGのシローp部分群の数とする。 n_pは素数qの約数であるから，Gが単純群であればn_q>q=n_p>pである。 かつ，n_qはp²の約数であるから，n_q=p²である。 従い，Gのp²(q−1)個の元が位数qであり，残る元がp²個のみであるからn_p=1になる。

◇ pとqを素数とする。位数p^kqの群は自明でない正規部分群を持つ。

∵ Gを反例とする。Gはq個のシローp部分群を持つ。 D=S∩Tが最大になるように2個のシローp部分群SとTを選ぶ。 |D|=1であれば位数pの元がq(p^a−1)個になり，シローq部分群が唯一に定まる。従い，|D|≠1である。 NをDの正規化群とする。Nがp群であれば，Nを含むシローp部分群Pがあり，P∩S≥N∩S>Dである。この不等号はSがp群であるから真に不等号である。従い，P=SでなければDの選択に反する。しかし，Tについても同様であるからS=P=Tとなり，これもSとTの選択に反する。従い，Nはp群ではない。

QをNのシローq部分群とする。G=SQであるから任意のg∈Gはx∈Sとy∈Qの積の形に書け，S^xy=S^y>D^y=DであるからSの共役は必ずDを含む。Sの全ての共役の共通部分がGの正規部分群になるから，Gは反例になりえない。

◇ pとqを素数とする。位数p³qの群は正規なシローp部分群か正規なシローq部分群を持つ。但し，対称群S₄を例外とする。

∵ Gを反例とし，Gのシローp部分群の個数をn_pと書く。n_pは素数qの約数であるからn_q>q=n_p>pである。かつ，n_qはp³の約数であるから，n_q=p³かn_q=p²かである。 n_q=p³であれば，位数qの元がp³(q−1)個になり，シローp部分群が唯一に定まるからGが反例にならない。n_q=p²であれば，p²=mq+1となるmがある。p²−1=(p+1)(p−1)=mqであるが，初めに示したようにq>pであり，かつ，pとqが共に素数であるからp+1=q=3しかない。

◇ pとqを素数とし，p<qとする。位数p²q²の群のシローp部分群は正規である。但し，p²q²=36は例外である。

∵ Gを反例とし，Gのシローp部分群の個数をn_pと書く。シローの定理によりp<n_p=q<n_q=p²である。 シローp部分群Pが正規であれば任意のシローq部分群Qが補群になる。然し，p=2,q=3の場合を除き，Pの自己同型群の位数がqの倍数にならず，PとQは直積をなす。即ち，Qも正規である。

D=S∩Tが最大になるようにシローq部分群SとTを選ぶ。 |D|=1であれば

p²(q²−1)+q(p−1)+1≤|G|

−p²+qp−q+1=(q−p−1)(p−1)≤0

これを満たすのはp=2,q=3に限られる。

|D|≠1であればDの正規化群をNとする。 Nの位数はpq²以上である。

射影特殊線型群

有限体F_q上，n次元の特殊線型群の中心による商をPSL_n(q)と書く。 リー代数の記号を用いてA_n−1(q)と書くこともあるが，交替群の記号とは無関係である。 低次元のものについては偶然の同型関係がある。

PSL₂(2)≃S₃

PSL₂(3)≃A₄

PSL₂(4)≃PSL₂(5)≃A₅

PSL₂(7)≃PSL₃(2), order 168

PSL₂(9)≃A₆