交換子

群の元xとyにつき，[x,y]=x⁻¹y⁻¹xyを交換子という。以下の関係式は容易である。

[y,x]=[x,y]⁻¹

[x,y]^s=[x^s,y^s]

[xy,z]=[x,z]^y·[y,z]

[x,yz]=[x,z]·[x,y]^z

XとYがGの部分群であるとき，元毎交換子の集合が生成するGの部分群を[X,Y]と書く。

[X,Y] = ([x,y] | x∈X, y∈Y)

[X,Y]=[Y,X]

[XY,Z]=[X,Z][Y,Z]

XとYが正規であれば[X,Y]も正規である。交換子群G′=[G,G]はGの全特性部分群であり，当然，正規部分群である。

三部分群補題

XとYとZをGの部分群とする。Gの正規部分群Nが[X,Y,Z]と[Y,Z,X]を含めば[Z,X,Y]をも含む。これはウィットの恒等式から得られる。

(ウィットの恒等式) [x,y⁻¹,z]^y·[y,z⁻¹,x]^z·[z,x⁻¹,y]^x

ウィットの恒等式は力尽くで計算すれば確かめられる。任意のx∈X,y∈Y,z∈Zにつき，[x,y⁻¹,z]∈N,[y,z⁻¹,x]∈Nであるから，ウィットの恒等式により[z,x⁻¹,y]∈Nである。[Y,Z]の各生成元とxの交換子がNに属するから，[Y,Z]の各元とxの交換子もNに属する。xもXの任意の元であるから[Z,X,Y]≤Nである。

以下は三部分群補題の容易な系である。

[H,K]≤Z(K) ⇒ [H,K,K]=1 ⇒ [H,K′]=1

交換子の集合

交換子の積は一般には交換子でなく，交換子の集合は一般には群でない。この例を示す。

K=(a, b | a², b², abab)

Q=(i, j | q⁴, i²j², ijij³)

C=(c | c³)

G=(K×Q)⋊C, a^c=b, b^c=ab, (ab)^c=bab=a, i^c=j, j^c=ij, (ij)^c=jij=i

Kはクラインの四元群，Qは四元数群であり，Gは位数96の群になる。 Gの交換子の積[i,j]·[a,c]=i²abはGの交換子でない。