分裂の定理

NがGの正規部分群であるときにG/Nが分裂するとは，Gが部分群Hを持ち，HとNの半直積がGになることをいう。そのためにはG=HNとH∩N=1が必要十分である。HをG/Nの補群という。|N|と|G/N|が互いに素であるとすれば，Hが補群になるためには|H|=|G/N|が必要十分である。

NがGの正規部分群であり，|N|と|G/N|が互いに素であるとき，以下の定理が成立する。

• (定理1) G/Nは分裂する。
• (定理2) Nが可解であればG/Nの補群は全て互いに共役である。
• (定理3) G/Nが可解であればG/Nの補群は全て互いに共役である。

定理1は拡大G/Nの2次コホモロジー群が自明であることに帰着し，定理2は1次コホモロジー群が自明であることに帰着する。定理3はホールの定理の後半に似ているが，Nの可解性を要求しない。しかし，その証明はホールの定理の証明の敷衍である。

定理1の証明

G/Nを最小の反例とする。 NがGの正規部分群Mを真に含むと仮定すれば，(G/M)/(N/M)が補群H/Mを持ち，そのH/Mも補群Kを持つ。|K|=|G/N|であるからKはG/Nの補群である。従い，Gが反例であるためにはNがGの極小正規部分群でなければならない。

PをNのシロー部分群とすればフラッチニ論法によりG=N_G(P)Nとなり，N_G(P)≠GであればN_G(P)/N_G(P)∩Nが補群を持ち，同型定理によりG/N=N_G(P)N/Nも補群を持つ。従い，Gが反例であるためにはN_G(P)=Gでなければならない。PはGの正規部分群であり，Pの中心Z(P)もGの正規部分群であり，Nの極小性によりN=Z(P)であるからNは可換である。

G/Nの元をx,y,zなどの簡単な記号で表す。また，各剰余類xの代表元を任意に決めてs(x)と書く。任意のx∈G/Nにつきs(x)N=xである。 f(x,y)=s(x)s(y)s(xy)⁻¹とする。

s(xyz)=s(x)s(yz)f(x,yz)=s(x)s(y)s(z)f(y,z)f(x,yz)

s(xyz)=s(xy)s(z)f(xy,z)=s(x)s(y)f(x,y)s(z)f(xy,z)=s(x)s(x)s(z)f(x,y)^s(z)f(xy,z)

両式の右辺を比べてf(y,z)=f(x,y)^s(z)f(xy,z)f(x,yz)⁻¹となり，f(x,y)∈Nに注意しつつ， xを動かして総積を作るとf(y,z)^|G/N|=g(y)^s(z)g(z)g(yz)⁻¹となる。但し，g(y)=Π_xf(x,y)とする。

|G/N|と|N|が素であると仮定しているから^|G/N|r≡1となる整数rがあり，h(y)=g(y)^rとすると，f(y,z)=h(y)^s(z)h(z)h(yz)⁻¹となる。

{s(x)h(x)⁻¹ | x∈G/N}は群を成す。

定理2の証明

G/Nを最小の反例とし，HとLをG/Nの補群とする。N′をNの交換子群とする。Nが可解であると仮定しているからN′≠Nである。また，N′はNの特性部分群であるからGの正規部分群である。 HN′/N′とLN′/N′は(G/N′)/(N/N′)の補群である。N′≠1であればHN′/N′とLN′/N′が互いに共役であり，HとLも互いに共役である。従い，G/Nが反例であるためにはNが可換でなければならない。

Hが同じ剰余類と二元以上で交わればHとNが自明でなく交わることになる。また，HがG/Nと同じだけの元を持つには各剰余類から一元づつを拾わなければならない。Lについても同様である。Hの各元を同じ剰余類に属するLの元に対応させる写像をtとする。

h(x)=x⁻¹t(x)∈Nとして，xyh(xy)=t(xy)=t(x)t(y)=xh(x)yh(y)=xyh(x)^yh(y)からh(xy)=h(x)^yh(y)を得る。

rを|N|に対する|H|の逆数とし，u=(Π_xh(x))^rとする。

xを動かして総乗を取ればu=u^yh(y)となり，t(y)=yh(y)=y^uである。即ち，LはH'の共役である。

定理3の証明

G/Nを最小の反例とし，HとLをG/Nの補群とする。|N|と|G/N|が互いに素であることを仮定している。また，G/Nが可解であることを仮定している。 NがGの正規部分群Mを真に含むと仮定すれば，HM/MとLM/Mは共に(G/M)/(N/M)の補群であるから互いに共役であり，L^xM=(LM)^x=HMとなるx∈Gがある。HMはHN=Gより真に小さい。HとL^xは共にHM/Mの補群であるから互いに共役である。従い，G/Nが反例であるためにはNがGの極小正規部分群でなければなない。

R/NをG/Nの極小正規部分群とする。R/Nは可解群の極小正規部分群であるから可換な準素群である。R/Nはp群であるとする。 R=G∩R=HN∩RN=(H∩R)Nであり，Nが正規であるから，H∩Rの位数はR/Nの位数に等しい。L∩Rについても同様である。 H∩RとL∩Rは共にRのシローp群であるから互いに共役であり，(L∩R)^y=H∩Rとなるyがある。 RはGの正規部分群であるから，H∩RはHの正規部分群である。 また，L^y∩R=(L∩R)^yはL^yの正規部分群である。

KをP=H∩R=(L∩R)^yの正規化群とする。 PがGの正規部分群であればHPは群になり，その位数は|H|と|P|の公約数であるが，|P|と|G|/|H|=|N|が互いに素であるから|HP|=|H|となるしかない。従い，HはPを含み，Lも同じくPを含む。H/PとL/Pは共に(G/P)/Nの補群であるから最初と同じ議論によりHとLが共役になる。 PがGの正規部分群でなければKはGより真に小さく，HとL^yは共にK/N∩Kの補群であるから互いに共役である。即ち，反例Gは存在しない。

定理2の系

HをG/Nの補群とする。Gの部分群H′の位数がHの位数の約数であればH′を含むHの共役がある。

∵ LN=LN∩G=LN∩HN=(LN∩H)Nであり，LとLN∩Hは共にLN/Nの補群である。従い，L=(LN∩H)^gとなるgがあり，L∈H^gである。