冪零群

Z₀=G から Z_i=[Z_i−1, G] を帰納的に作り，終に Z_n={1} に至るときにGは冪零群であるという。これは強可解とでも呼ぶ方が良さそうであるが，冪零という語が定着している。 各Z_iはZ_i−1の正規部分群であり，商群Z_i−1/Z_iは可換である。 また，Z_i≤H≤Z_i−1であれば [H,G]≤[Z_i−1,G]=Z_i≤H であるからHはGの正規部分群である。

冪零性は可換性より弱く可解性より強い。非可換の冪零群で重要なものとしては準素群が挙げられる。冪零ではない小さな群としては対称群S₃や交替群A₄が挙げられる。

冪零群の部分群は冪零群である。冪零群の商群は冪零群である。有限個の冪零群の直積は冪零群である。

正規化条件

冪零群Gの真部分群Hの正規化群N_G(H)はHより真に大きい。逆に有限群Gの全ての真部分群H<GについてH<N_G(H)であればGは冪零群である。

∵ Gの降中心列でZ_k≤Hとなる最初のものをZ_kとする。[Z_k−1,H]≤[Z_k−1,G]=Z_k≤Hであるから，Z_k−1≤N_G(H)である。H≤N_G(H)は当然であり，Z_k−1はHに含まれないからH<N_G(H)となる。 逆はGが有限個の準素群の直積であることを示せば良く，そのためにはGのシロー部分群が全て正規であることを示せば良い。 PをGの任意のシロー部分群とする。Pが正規でなければN_G(P)を含む極大部分群M<Gがあり，正規化条件を仮定すればN_G(M)>Mであるが，Mの極大性によりN_G(M)=Gである。Mは正規であり，フラッチニ論法によりG=N_G(P)M=Mを得てM<Gに矛盾する。

冪零群の極大部分群

冪零群Gの極大部分群Mは正規であり，その指数は素数である。また，Mは交換子群G′=[G,G]を含む。

∵ 正規化条件によりN_G(M)>Mであるが，Mの極大性によりN_G(M)=Gとなる。 G/Mが部分群H/Mを持てばG>H>MとなってMの極大性に反するから，Mの指数は素数でなければならない。 G/Mは素数位数の巡回群であるから可換である。従い，[G/M,G/M]=Mであり，[G,G]≤Mである。