フロベニウス群

次の条件を満たす部分群Hを持つ群Gをフロベニウス群という。HをGのフロベニウス補群という。また，Hを補群にするGの正規部分群をGのフロベニウス核という。

• 1<H<G
• 任意のg∈Gにつき，g∈HでなければH^g∩H=1

フロベニウス補群の位数

Gのフロベニウス補群HはGのホール部分群である。 フロベニウス補群の指数がnであれば位数はn−1の約数である。

∵ nをHの指数とする。Hはn個の共役を持ち，その和集合Uは1+n(|H|−1)個の元を含む。C=G−Uとする。CはHの何れの共役にも含まれない元の集合であり，n−1個の元を持つ。Hの共役作用によるCの各元の軌道を考える。Hより大きい軌道はありえない。また，Hより小さい軌道があればx^h=x^h′となるx∈Xとh,h′∈Hがあり，hh′=(hh′)^xが得られてHの定義に反する。従い，全ての軌道は大きさがHに等しく，|H|は|C|=n−1の約数である。nとn−1は互いに素であるからHはホール部分群である。