ホールの定理

可解群Gの位数がmnであり，mとnとが互いに素で あるとき，Gは位数mの部分群を持つ。πをmの素因数を集合として，それらをGのホールπ部分群と呼ぶ。ホールπ部分群は互いに共役である。Gの部分群で位数がmを割るものは何れかのホールπ部分群に含まれる。

前半の証明

Gを最小位数の反例とする。 NをGの極小正規部分群とする。Gが可解であるからNは可換で準素群である。 |N|がmを割る場合はG/Nが位数m/|N|の部分群L/Pを持ち，LがGの位数mの部分群になる。 |N|がmを割らない場合はG/Nが位数mの部分群H/Nを持つ。 H≠GであればHが位数mの部分群を持つから，Gが反例であるためにはG=Hでなければならない。 K/NをG/Nの極小正規部分群とする。G/Nが可解であるからK/Nは準素群である。K/Nはp群であるとする。PをKのシローp部分群とし，フラッチニ論法によりG=N_G(P)Kを得るが，位数の計算によりK=PNであるからG=N_G(P)Nとなる。N_G(P)≠GであればN_G(P)が位数mの部分群を含むから，Gが反例であるためにはG=N_G(P)でなければならない。 PがGの正規部分群であり，|P|が|G/N|=|H/N|=mの約数であるから，NをPに代えて|N|がmを割る場合に帰着する。

シロー基

|G|の各素因数pにつきシロー部分群S_pが定まり，その任意の対につきS_pS_q=S_qS_pとなるとき，それらシロー部分群の集合をGのシロー基という。 これはS_pS_qがGの部分群であることを意味する。 可解群はシロー基を持ち，逆にシロー基を持つ有限群は可解群である。

∵ pを|G|の各素因数とし，n_pをGのシローp群の位数とする。 ホールの定理により，Gは位数が|G|/n_pの部分群Q_pを持つ。 S_p=∩_q≠pQ_qとする。 S_pは部分群の共通部分であるから部分群である。 補題2によりS_pがシローp部分群であることが分かる。 また，S_pS_q=S_pS_q=∩_s≠p,qQ_sである。 即ち，{S_p}がGのシロー基になる。

Gを最小位数の反例とし，{S_pⁱ}をGのシロー基とする。QをK=S_p¹S_p²の極小正規部分群とする。Kはバーンサイドの定理により可解であるから，Qは準素群であり，Qはp₂群であるとして一般性を失わない。 QがKの正規部分群であるから，Qのシローp₂部分群は必ずKを含む。 HをP₁の任意の補群とする。補題2を用いて|H∩K|=|P₂|を得てQ≤H∩K≤Hであるが，これはHをHの共役に換えても成立するから，Hの共役の共通部分はGの自明でない正規部分群である。 位数の仮定により，NとG/Nが可解であるからGも可解である。即ち，Gは反例になりえない。

補題1

H₁とH₂をGの部分群とする。|H₁H₂|=|H₁|·|H₂|/|H₁∩H₂|である。

∵ B=H₁∩H₂とする。 A₁をBによるH₁の左剰余類の代表系としてH₁=A₁Bである。 また，A₂をBによるH₂の右剰余類の代表系としてH₂=BA₂である。 従い，H₁H₂=(A₁B)(BA₂)=A₁BA₂ であり，|H₁H₂|=|A₁|·|B|·|A₂|である。

補題2

H₁とH₂をGの部分群とする。 [G:H₁]と[G:H₂]が互いに素であれば[G:H₁∩H₂]=[G:H₁]·[G:H₂]である。

∵ K=H₁∩H₂とする。n_j=[G:H_j]とする。 |G|=[G:H_j]·[H_j:K]·|K|=n_jm_j|K|と書けるが， n₁とn₂が互いに素であるから|G|=n₁n₂m|K|と書ける。 一方，|H₁H₂|=|H₁|·|H₂|/|K|=(|G|/n₁)(|G|/n₂)/|K|=n₁n₂m²|K|であるが，当然に|H₁H₂|≤|G|であるからm=1であり，[G:K]=|G|/|K|=n₁n₂である。