位数168単純群の一意性

Gを位数168の単純群とする。 Gのシロー7群は8個，シロー3群は7個か28個である。位数21の元があればシロー2群が唯一になってしまう。3群が7個では7群の正規化群が唯一，7群も唯一になってしまう。3群は28個である。位数6の元があればシロー2群が唯一になってしまう。以上により，位数7の元は48個，位数3の元は56個，位数2冪の元は残る63個である。

位数2冪の元が63個であるから，21個のシロー2群の内に自明でなく交わるものがある。その交わりCの正規化群について考える。|N_G(C)|は4より大きい4の倍数であるが，|N_G(C)|=12は3群の正規化群の位数によって否定され，|N_G(C)|=28と|N_G(C)|=56は7群の正規化群の位数によって否定される。結局，N_G(C)は4次の対称群S₄に同型であり，シロー2群は二面体群，シロー2群の交わりCは四元群である。

メモ

位数4が42個，位数2が21個，また，GからA₇への準同型単射がある。

補題1

群Gが位数nの巡回群Hを部分群として含み，HがGのシローp部分群Pを含むとき，Gは少なくともφ(n)[G:N_G(P)]個の位数nの元を含む。但し，φはオイラーの捻れ関数を表す。

∵ P_iがGのシローp部分群とする。 シローp部分群は互いに共役であるから，各iにつき，P_i=x⁻¹Px≤x⁻¹Hx=H_iとなるx∈Gがある。 各H_iはHと同型であるから位数nの巡回群であり，φ(n)個の位数nの元を含む。 また，H_iとH_jが位数nの元を共有すればH_i=H_jとなってしまう。

補題2

位数24の群は，4次の対称群を除き，位数3か位数8の正規部分群を持つ。 位数56の群は，位数7か位数8の正規部分群を持つ。

交替群の元の位数

偶数次の交替群は次数より小さい全ての位数の元を含む。例えば，A₆は位数5の置換(12345)や位数4の置換(1234)(45)を含む。