シュペヒト加群

シュペヒト加群は対称群の表現を多変数多項式環の上に構成するものである。対称群の次数nの分割λに応じてシュペヒト加群S^λが定まる。シュペヒト加群は標準ヤング盤に対応する基底を持つ。シュペヒト加群は群の位数n!が多項式環の係数体の標数を割らなければ既約である。シュペヒト加群は対称群の既約表現を尽くす。

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n個の変数X₁,…,X_nをXと書く。対称群S_nは変数の置換により多項式環F[X]に作用する。

ヤング盤Tに作用して各列を固定するS_nの部分群をV_Tと書く。また，各行を固定する部分群をH_Tと書く。 Tに対して単項式m_Tと多項式f_Tを定義する。

m_T = ∏_(r,c)∈λ X_T(r,c)^r−1

f_T(X) = ∏_c Δ(X_T(1,c)…,X_T(λ′c,c)) = ∑_σ∈VT sgn(σ)σm_T

第二式の右の等号については後に説明する。f_TをTが定めるシュペヒト多項式という。シュペヒト多項式は斉次であり，その次数はλのみに依存する。以下，ヤング盤とシュペヒト多項式を同一視するが，それにより同値となる盤が発生する。実際，列を変えない偶置換はシュペヒト多項式に自明に作用する。それらの同値関係に基づきTab(λ)が生成する加群をλが定めるシュペヒト加群S^λという。

ガルニール関係式

記号Δを以下に定義する。

Δ(X₁,…,X_k) = ∏_1≤a<b≤k (X_b−X_a)

標準基底定理

標準基底がシュペヒト加群を生成することと標準基底が独立であることを示せばよい。ヤング盤の列内で行を交換しても符号が変わるだけであるから，シュペヒト加群は各列が上から下に単調増加な盤のみにより生成される。そのような盤を半標準盤と呼ぶことにする。同形状の半標準盤に対して，列順に箱の値を読み上げて辞書式順序を与え，Tを標準基底で表せない最小の半標準盤とする。T自体が標準盤でないからにはT(r,c)>T(r,c+1)となる箇所がある。c列とc+1列にガルニール関係式を適用し，c列r行以下(行番号がr以上)とc+1列r行以上を変換する。それにより得られる各盤はc列の箱の幾つかが値を減じている。列内昇順に並べればTより小さい半標準盤になり，帰納法の仮定により標準基底で表される。故にTも標準基底で表されることになる。

多項式の項のうち，冪指数の辞書式順序で最小のものを末項と呼ぶことにする。Tが標準盤であればシュペヒト多項式f_Tの末項はm_Tであり，逆にm_Tを末項とする標準盤はTのみである。 標準基底が線形独立でなければ標準盤のシュペヒト多項式の線形'結合で0になるものがある。然し，その中で最小の末項を持つ盤の末項は他の盤の項で消されることがない。故に標準基底は線形独立である。

• ここで用いた順序は必然でない。例えば，箱の値の順に列番号を拾い上げて辞書式順序を与えてもよい。

分岐則

既約性