シュールの補題

単純加群間の非自明な準同型写像は可逆である。単純加群の自己準同型写像は斜体を成す。Aを閉体F上の代数とすれば，単純A加群の自己準同型写像はAの元で表される。

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証明

φを単純加群V₁から単純加群V₂への非自明な準同型写像とする。φの核はV₁の部分加群，φの像はV₂の部分加群になるから，V₁とV₂の単純性により，φは全単射である。全単射は可逆であり，可逆な準同型写像は同型写像である。加群の自己同型写像は斜体を成す。

応用

可換群の閉体上の既約表現は全て次数1である。

Vを可換群Gの既約表現，即ち，群環FG上の単純加群とする。VへのGの作用とFGの作用は互いに可換であるから，Gの元はFG加群Vの自己準同型写像を与える。シュールの補題により，GのVへの作用はFを経る。任意のx∈V−{0}につき，FxはVの部分加群であり，単純性によりV=Fxである。