群Gの元を基底にして生成される体F上の線形空間を群環FGという。FGにはGの積を双線形に延長した積が入る。(ρ,V)がGの表現であるとはρがGからGL(V)への群準同型写像であるということである。また，V′がFG加群であるとはFGからEnd(V′)への環準同型写像ρ′があるということであるが，V′はF加群でもあり，ρ′はFGからEnd(V′)=GL(V′)への準同型でもある。加群ρ′の定義域をGに制限すれば表現ρが得られ，逆にρを線形に延長すればρ′が得られる。即ち，GのF上の表現はFG加群と対応する。非自明な部分表現を持たない表現を既約表現といい，部分加群を持たない加群を単純加群という。既約表現は単純加群に対応する。単純加群の直和を半単純加群といい，半単純加群に対応する表現を完全可約であるという。
任意のv∈V−{0}につき，vへの乗算はFGからVへの準同型写像になる。それをφと書く。Vが既約であればφが全射になり，VはFG/kerφと同型である。体がマシュケの定理の前提を満たせばkerφが補因子Wを持ち，VはWと同型である。即ち，有限群の既約表現は全てが群環の中に表れる。また，Gが有限群であればFGがF上有限次元であるから，有限群の既約表現は有限次元である。
Vへの表現ρに対して，双対空間V*への表現ρ*が自然に誘導される。
gを写像fの始域に作用させるので逆元を取って結合を調整する。 Vが有限次元であれば行列としてρ*(g)=tρ(g−1)である。 また，ρがユニタリ表現であればρ(g−1)=ρ(g)であり，相対表現ρ*(g)はエルミート転置ρ(g)*に一致する。
YをV*の部分加群とし，X={x∈V | y(x)=0 (∀y∈Y)}とする。x∈Xであれば全てのy∈Yにつきy(x)=0であり，逆にy∈Yであれば全てのx∈Xにつきy(x)=0である。Y≠0であればX≠Vとなり，Y≠V*であればX≠0である。然し，Yg=Yであるからy(gx)=(yg)(x)=0であり，XがVの部分加群になってVの既約性に反する。即ち，既約表現の双対表現は既約である。
