冪零元を持たない可換環

冪零元を持たない可換ネーター環は体の直積に同型である。

環Rの各元rにつき，rを含まないイデアルの族の極大元をJ_rとする。Q_r=R/J_rの(0)以外のイデアルに対応するRのイデアルはJ_rより大きいから必ずrを含む。故にQ_rの(0)以外のイデアルはr+J_rを含み，Q_rは以下の補題によって体である。

Rから各Q_rへの自然な準同型写像をφ_rと書き，φを{φ_r|r∈R}の直積とする。φはRを体の直積{Q_r|r∈R}に埋蔵させるが，一般に全射ではない。 Rに順序を持たせ，rより小さい元に対応する成分への写像の核の共通部分をk_rと書く。k_rはRのイデアルであるから，その像もイデアルである。然し，体は非自明なイデアルを持たないからφ_r(k_r)は0かQ_rかに一致する。それが0であれば直積空間から取り除かれる。

(補題) 零イデアルを除く全てのイデアルの共通部分が非冪零元を含む可換環は体である。実際，体は非自明なイデアルを持たない。

環Rの全てのイデアルに含まれる非冪零元aを任意に選ぶ。a²が生成するイデアルもaを含むからa=ca²となるcがあり，ca=c²a²=(ca)²は冪等である。Q={r−rca|r∈R}はRのイデアルであるが，仮りにQ≠(0)であるとすればa∈Qであるからa=r−rcaとなるr∈Rがあり，caを掛けてca²=0の矛盾を生む。故に全てのr∈Rについてr−rca=0でなければならない。これはcaが単位元であることを意味する。Rのイデアルは必ずaを含むからcaを含む。Rは真のイデアルを持たず，体である。