フラッチニ部分群

全ての極大部分群の共通部分をフラッチニ部分群と呼ぶ。フラッチニ部分群は特性部分群である。有限群のフラッチニ部分群は冪零である。 有限群が冪零群であるためには，フラッチニ部分群が交換子群を含むことが必要十分条件である。

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◇ フラッチニ部分群は特性部分群である。

ΦをGのフラッチニ部分群とし，σを任意の自己同型写像とする。Φがσxを含まないとすればσxを含まない極大部分群Mがあり，その逆像σ⁻¹Mがxを含まない。σ⁻¹Mも極大部分群であるから，Φはxを含まない。対偶により，ΦはσΦを含む。

◇ 有限群のフラッチニ部分群は冪零である。

PをΦのシロー部分群とすればフラッチニ論法によりG=N_G(P)Φとなるが，G=N_G(P)でなければN_G(P)を含む極大部分群がΦをも含み等号が成り立たない。従い，PはΦ≤Gにおいて正規である。シロー部分群が全て正規であるからΦは冪零である。

◇ 有限群Gが冪零群であるためにはフラッチニ部分群Φが交換子群G′を含むことが必要十分である。

MをGの任意の極大部分群とする。ΦがG′を含めばG>M≥Φ≥G′であり，G/G′が可換であるからMはGの正規部分群であり，極大部分群が全て正規であるからGは冪零群である。逆に冪零群Gの極大部分群は必ずG′を含むから，極大部分群の共通部分であるΦもG′を含む。