指数積分

En或いはEiを指数積分という。被積分関数が極を持つため，実関数としてはコーシーの主値を用いる。複素関数としては多価になるが，負の実軸で截断し，Eiは定数を加えて正の実軸上で実にする。或いは，Eiを正の実軸で截断することもある。 Einは整関数になる。Einの定義に表れる負号は歴史的な理由による。

$\mathrm{E}_n(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-zt}}{t^n}dt$

$\mathrm{E}_1(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-zt}}{t}dt =\int_{z}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt =\Gamma(0,z)$

$\mathrm{Ei}(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{e^t}{t}dt (\pm\pi{i})$

$\mathrm{Ein}(z)=\int_{0}^{z}\frac{1-e^{-t}}{t}dt =-\int_{0}^{-z}\frac{e^t-1}{t}dt$

多価性はlogに封ぜられる。

$\mathrm{E}_1(z)=\mathrm{Ein}(z)-\log{z}-\gamma$

$\mathrm{Ei}(z)=-\mathrm{Ein}(-z)+\log{z}+\gamma$

$\gamma$ は積分定数の差に相当するが，指数積分とオイラー定数に詳しく書く。また，常識的ではあるが，

$\log{(-z)}=\log{(z)}\pm\pi{i}$

に注意しておく。

$\mathrm{li}(z)=\int_{0}^{z}{\frac{1}{\log{t}}dt} (\pm\pi{i}) =\int_{-\infty}^{\log{z}}\frac{e^t}{t}dt (\pm\pi{i}) =\mathrm{Ei}(\log{z})$

$\mathrm{Li}(z)=\int_{2}^{z}\frac{1}{\log{t}}dt =\mathrm{li}(z)-\mathrm{li}(2)$

素数定理に関係してz→∞が重要であり，Liの起点は特異点を避ける便宜に過ぎない。

Siは整関数になる。実関数としてのCiはコーシーの主値を用いる。複素関数としてのCiは，正の実軸上で実になるために定数を必要とするが，積分範囲の調整によって免れる。 Cinは整関数である。

$\mathrm{si}(z)=-\int_{z}^{\infty}\frac{\sin{t}}{t}}dt$

$\mathrm{ci}(z)=-\int_{z}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}}dt$

$\mathrm{Si}(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin{t}}{t}}dt$

$\mathrm{Ci}(z)=\int_{-\infty}^{z}\frac{\cos{t}}{t}}dt (\pm\pi{i}) =\int_{-\infty}^{-z}\frac{\cos{t}}{t}}dt$

$\mathrm{Cin}(z)=\mathrm{Cin}(-z)=\int_{0}^{z}\frac{1-\cos{t}}{t}}dt$

Siは奇関数，Cinは偶関数である。

次の関係はディリクレの定積分による。

$\mathrm{Si}(z)-\mathrm{si}(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin{t}}{t}}dt=\frac{\pi}{2}$

多価性はlogに封ぜられる。

$\mathrm{Ci}(z)=-\mathrm{Cin}(z)+\log{z}+\gamma$

オイラーの公式は特異点と積分始点の差に注意しなければならない。

$\mathrm{Ein}(iz)=\mathrm{Cin}(z)+i\mathrm{Si}(z)$

$\mathrm{Ei}(iz)=\mathrm{Ci}(z)+i\left(\frac{\pi}{2}+\mathrm{Si}(z)\right)$

然し，

$\mathrm{Ci}(-z)=\mathrm{Ci}(z)-\pi{i}$

により，見かけに反して

$\frac{\pi}{2}+\mathrm{Si}(z)=\frac{\mathrm{Ei}(iz)-\mathrm{Ei}(-iz)}{2i}$

$\mathrm{Ci}(z)=\frac{\mathrm{Ei}(iz)+\mathrm{Ei}(-iz)}{2}$

となる。

部分積分

$\int_{-\infty}^{z}\frac{e^t}{t^n}dt=\frac{e^z}{z^n}+\int_{-\infty}^{z}\frac{ne^t}{t^{n+1}}dt$

$\int_{-\infty}^{z}\frac{\sin{t}}{t^n}dt=-\frac{\cos{t}}{z^n}-\int_{-\infty}^{z}\frac{n\cos{t}}{t^{n+1}}dt$

$\int_{-\infty}^{z}\frac{\cos{t}}{t^n}dt=\frac{\sin{t}}{z^n}+\int_{-\infty}^{z}\frac{n\sin{t}}{t^{n+1}}dt$

を繰り返し，形式的級数展開

$\int_{-\infty}^{z}\frac{e^t}{t}dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{(n-1)!e^z}{z^n}$

$\int_{-\infty}^{z}\frac{\sin{t}}{t}dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{(n-1)!\sigma_n(z)}{z^n}$

$\int_{-\infty}^{z}\frac{\cos{t}}{t}dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{(n-1)!\sigma_{n-1}(z)}{z^n}$

を得る。但し，

$\sigma_n(z)=\begin{cases} \sin(z)&n\equiv 0\\ -\cos(z)&n\equiv 1\\ -\sin(z)&n\equiv 2\\ \cos(z)&n\equiv 3 \end{cases}\pmod{4}$

とする。指数積分については漸近展開になっている。実際，

$\int_{-\infty}^{z}\frac{e^t}{t^n}dt=O\left(\frac{e^z}{z^{n-1}}\right)$

から

$\begin{align} \int_{-\infty}^{z}\frac{e^t}{t}dt &=\sum_{n=1}^{N+1}\frac{(n-1)!e^z}{z^n}+\int_{-\infty}^{z}\frac{e^t}{t^{N+2}}dt\\ &=\sum_{n=1}^{N}\frac{(n-1)!e^z}{z^n}+O\left(\frac{e^z}{z^{N+1}}\right) \end{align}$

が示される。

負の実数に制限すれば，

$\int_{-\infty}^{x}\frac{\sin{t}}{t^n}dt=O\left(\frac{1}{x^{n-1}}\right)\quad(x<0)$

$\int_{-\infty}^{x}\frac{\cos{t}}{t^n}dt=O\left(\frac{1}{x^{n-1}}\right)\quad(x<0)$

から

$\begin{align} \int_{-\infty}^{x}\frac{\sin{t}}{t}dt =\sum_{n=1}^{N}\frac{(n-1)!\sigma_n(x)}{x^n}+O\left(\frac{1}{x^{N+1}}\right) \end{align}$

$\begin{align} \int_{-\infty}^{x}\frac{\cos{t}}{t}dt =\sum_{n=1}^{N}\frac{(n-1)!\sigma_{n-1}(x)}{x^n}+O\left(\frac{1}{x^{N+1}}\right) \end{align}$

が示される。これを漸近展開と呼ぶべきかは言葉の定義に依存する。

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最終更新：2012年11月13日 23:15

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