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指数積分とオイラー定数

\begin{align} g(s) &=\int_0^1{t^{s-1}(e^{-t}-1)}dt+\int_1^\infty{t^{s-1}e^{-t}}dt\\ &=\int_0^1\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}t^{s+n-1}dt+\int_1^\infty{t^{s-1}e^{-t}}dt \end{align} と定義する。

\Re{s}>0に関して

\int_0^1{t^{s-1}}dt=\left[\frac{t^s}{s}\right]_0^1=\frac{1}{s} より

g(s)=\Gamma(s)-\frac{1}{s} である。

従い，gが+0で連続であれば

\begin{align} g(0) &=-\mathrm{Ein}(1)+\mathrm{E}_1(1)\\ &=\lim_{s\to{0}}\Gamma(s)-\frac{1}{s}=\Gamma'(1)=-\gamma \end{align} がいえる。

実際，下部は項別積分と微分により

\begin{align} \frac{d}{ds}\int_0^1\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}t^{s+n-1}dt =\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{(s+n)n!} \end{align}

となり，収束して有界である。これは\Re{s}>-1を条件とする。

上部は，積分と微分の交換に関して議論を要するが，

\begin{align} \frac{d}{ds}\int_1^\infty{t^{s-1}e^{-t}}dt &=\int_1^\infty{\frac{d}{ds}t^{s-1}e^{-t}}dt\\ &=\int_1^\infty{\frac{\log(t)}{t^{1-s}}e^{-t}}dt \end{align}

となる。 s<e^{-1}であれば

\frac{\log(t)}{t^{1-s}}<1であり，明らかに有界である。

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最終更新：2012年11月13日 23:19
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